Похожие вопросы
2025-03-07 14:19:37
Найдите общее решение уравнения y' − y / x = xcos2x
Другие предметы Колледж Методы решения дифференциальных уравнений математический анализ общее решение уравнение y' y/x xcos2x колледж Дифференциальные уравнения решение уравнения
2025-03-07 14:19:59
Для решения уравнения y' − y / x = xcos(2x) воспользуемся методом решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка.
Общее уравнение имеет вид:
y' + P(x)y = Q(x),
где P(x) = -1/x и Q(x) = xcos(2x).
Шаг 1: Найдем интегрирующий множитель.
Интегрирующий множитель μ(x) можно найти по формуле:
μ(x) = e^(∫P(x)dx).
В нашем случае:
- P(x) = -1/x,
- ∫P(x)dx = ∫(-1/x)dx = -ln|x| = ln|1/x|.
Таким образом, интегрирующий множитель будет:
μ(x) = e^(ln|1/x|) = 1/x.
Шаг 2: Умножим все уравнение на интегрирующий множитель:
(1/x)y' - (1/x)(y/x) = (1/x)(xcos(2x)).
Упрощаем уравнение:
(1/x)y' - (1/x^2)y = cos(2x).
Шаг 3: Преобразуем левую часть уравнения:
(d/dx)(y/x) = cos(2x).
Шаг 4: Интегрируем обе стороны:
∫(d/dx)(y/x)dx = ∫cos(2x)dx.
Слева получаем:
y/x = ∫cos(2x)dx.
Интеграл справа равен:
∫cos(2x)dx = (1/2)sin(2x) + C, где C - произвольная константа.
Шаг 5: Умножим обе стороны на x:
y = x((1/2)sin(2x) + C).
Таким образом, общее решение уравнения:
y = (1/2)xsin(2x) + Cx.
Это и есть искомое общее решение дифференциального уравнения.
