Найдите общее решение уравнения y' − y / x = xcos2x

Другие предметы Колледж Методы решения дифференциальных уравнений математический анализ общее решение уравнение y' y/x xcos2x колледж Дифференциальные уравнения решение уравнения Новый

Для решения уравнения y' − y / x = xcos(2x) воспользуемся методом решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка.

Общее уравнение имеет вид:

y' + P(x)y = Q(x),

где P(x) = -1/x и Q(x) = xcos(2x).

Шаг 1: Найдем интегрирующий множитель.

Интегрирующий множитель μ(x) можно найти по формуле:

μ(x) = e^(∫P(x)dx).

В нашем случае:

• P(x) = -1/x,
• ∫P(x)dx = ∫(-1/x)dx = -ln|x| = ln|1/x|.

Таким образом, интегрирующий множитель будет:

μ(x) = e^(ln|1/x|) = 1/x.

Шаг 2: Умножим все уравнение на интегрирующий множитель:

(1/x)y' - (1/x)(y/x) = (1/x)(xcos(2x)).

Упрощаем уравнение:

(1/x)y' - (1/x^2)y = cos(2x).

Шаг 3: Преобразуем левую часть уравнения:

(d/dx)(y/x) = cos(2x).

Шаг 4: Интегрируем обе стороны:

∫(d/dx)(y/x)dx = ∫cos(2x)dx.

Слева получаем:

y/x = ∫cos(2x)dx.

Интеграл справа равен:

∫cos(2x)dx = (1/2)sin(2x) + C, где C - произвольная константа.

Шаг 5: Умножим обе стороны на x:

y = x((1/2)sin(2x) + C).

Таким образом, общее решение уравнения:

y = (1/2)xsin(2x) + Cx.

Это и есть искомое общее решение дифференциального уравнения.