Найдите общее решение уравнения y' – y / x = x(x + 2)

1. y = x³/2 + 2x² + Cx
2. y = x³/2 + 2x² + C
3. y = x³/2 + 2x²
4. y = x³/2 + 2x + C

Другие предметы Колледж Методы решения дифференциальных уравнений высшая математика решение уравнения колледж Дифференциальные уравнения математический анализ методы решения общее решение y' – y / x математические задачи учебные материалы Новый

Давайте решим данное дифференциальное уравнение первого порядка:

Уравнение имеет вид:

y' - (y / x) = x(x + 2)

Это линейное уравнение, которое можно привести к стандартному виду:

y' + P(x)y = Q(x)

где P(x) = -1/x и Q(x) = x(x + 2).

Шаг 1: Найдем интегрирующий множитель.

Интегрирующий множитель μ(x) можно найти по формуле:

μ(x) = e^(∫P(x)dx)

В нашем случае:

• P(x) = -1/x
• ∫P(x)dx = ∫(-1/x)dx = -ln|x| = ln|1/x|
• Следовательно, μ(x) = e^(ln|1/x|) = 1/x.

Шаг 2: Умножим уравнение на интегрирующий множитель:

(1/x)(y' - (y/x)) = (1/x)(x(x + 2))

Это упрощается до:

(y'/x) - (y/x^2) = x + 2.

Шаг 3: Теперь заметим, что левая часть является производной произведения:

(d/dx)(y/x) = x + 2.

Шаг 4: Интегрируем обе стороны:

∫(d/dx)(y/x)dx = ∫(x + 2)dx.

Левая часть интегрируется до:

(y/x) = (x^2/2 + 2x) + C.

Шаг 5: Умножим обе стороны на x, чтобы выразить y:

y = x(x^2/2 + 2x + C) = (x^3/2 + 2x^2 + Cx).

Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения:

y = (x^3/2 + 2x^2 + Cx).

Где C - произвольная константа.