Найдите общее решение уравнения y' - y / x = x

• 1) y = x² + Cx
• 2) y = x² − Cx
• 3) y = 2x² + Cx

Другие предметы Колледж Методы решения дифференциальных уравнений высшая математика колледж общее решение уравнение Дифференциальное уравнение y' y x математический анализ студенты колледжа Новый

Для решения данного уравнения y' - y / x = x, мы можем использовать метод решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка.

Шаг 1: Приведем уравнение к стандартному виду:

y' - (1/x)y = x

Шаг 2: Найдем интегрирующий множитель. Интегрирующий множитель μ(x) определяется как:

• μ(x) = exp(∫P(x)dx), где P(x) = -1/x.

Вычислим интеграл:

• ∫(-1/x)dx = -ln|x|.
• Тогда μ(x) = exp(-ln|x|) = 1/|x|.

Шаг 3: Умножим все уравнение на интегрирующий множитель:

(1/|x|)y' - (1/x^2)y = 1/|x| * x = 1/|x|.

Шаг 4: Теперь у нас есть уравнение, которое можно записать в виде:

(1/|x|)y' - (1/x^2)y = 1/|x|.

Это уравнение можно переписать как:

(d/dx)(y/|x|) = 1/|x|.

Шаг 5: Интегрируем обе стороны:

• ∫(d/dx)(y/|x|)dx = ∫(1/|x|)dx.

Левая часть интеграла просто дает y/|x|, а правая часть интеграла дает ln|x| + C.

Шаг 6: Перепишем результат:

y/|x| = ln|x| + C.

Шаг 7: Умножим на |x|:

y = |x|(ln|x| + C).

Шаг 8: Теперь, учитывая, что |x| = x для x > 0 и |x| = -x для x < 0, мы можем записать общее решение:

y = x(ln|x| + C) для x > 0 и y = -x(ln|x| + C) для x < 0.

Таким образом, общее решение уравнения y' - y / x = x не совпадает ни с одним из предложенных вариантов. Однако, если мы рассмотрим конкретные случаи, например, при C = 0, мы можем получить решения, которые могут быть схожи с предложенными.

Если у вас есть дополнительные вопросы или нужны разъяснения по конкретным шагам, пожалуйста, дайте знать!