Чтобы найти наибольшее значение функции y = x^7 + 5x^3 - 16 на отрезке [-9; 1], нам нужно выполнить несколько шагов:

1. Найти производную функции: Мы начнем с нахождения производной функции y по x, чтобы определить критические точки.

Производная функции y будет:

y' = 7x^6 + 15x^2

1. Найти критические точки: Критические точки – это точки, в которых производная равна нулю или не существует. Мы приравняем производную к нулю:

7x^6 + 15x^2 = 0

Можно вынести общий множитель:

x^2(7x^4 + 15) = 0

1. Решить уравнение: Это уравнение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Первое уравнение дает:
• x^2 = 0 → x = 0
2. Второй множитель 7x^4 + 15 не имеет действительных корней, так как 7x^4 всегда положительно, а 15 – это положительное число. Таким образом, единственная критическая точка на отрезке [-9; 1] – это x = 0.

1. Найти значения функции в критической точке и на границах отрезка:

Теперь мы найдем значение функции y в критической точке и на границах отрезка:

• y(-9) = (-9)^7 + 5(-9)^3 - 16 = -4782969 - 3645 - 16 = -4786620
• y(0) = 0^7 + 5*0^3 - 16 = -16
• y(1) = 1^7 + 5*1^3 - 16 = 1 + 5 - 16 = -10

1. Сравнить найденные значения: Теперь у нас есть три значения:

• y(-9) = -4786620
• y(0) = -16
• y(1) = -10

Теперь сравним их:

• Наибольшее значение из этих трех: -10.

Ответ: Наибольшее значение функции y на отрезке [-9; 1] равно -10.