Найдите общее решение уравнения y' +y/x = sinx/x

1. y = 1/x ⋅ (C − cosx)
2. y = 1/x ⋅ (C − sinx)
3. y = 1/x ⋅ (C + cosx)

Другие предметы Колледж Дифференциальные уравнения первого порядка высшая математика колледж общее решение Дифференциальные уравнения уравнение y' + y/x = sinx/x методы решения уравнений математический анализ теоретическая математика Новый

Для решения уравнения первого порядка y' + y/x = sin(x)/x мы будем использовать метод интегрирующего множителя.

Шаг 1: Приведем уравнение к стандартному виду.

У нас есть уравнение:

y' + (1/x)y = sin(x)/x.

Шаг 2: Найдем интегрирующий множитель.

Интегрирующий множитель μ(x) можно найти по формуле:

μ(x) = e^(∫(1/x)dx) = e^(ln|x|) = |x|.

Для простоты мы будем использовать μ(x) = x.

Шаг 3: Умножим уравнение на интегрирующий множитель.

Умножим все части уравнения на x:

• x*y' + y = sin(x).

Шаг 4: Преобразуем левую часть уравнения.

Левая часть уравнения теперь является производной произведения:

(xy)' = sin(x).

Шаг 5: Интегрируем обе стороны уравнения.

Интегрируем:

• ∫(xy)'dx = ∫sin(x)dx.

Это дает:

• xy = -cos(x) + C,

где C - произвольная константа интегрирования.

Шаг 6: Найдем y.

Теперь выразим y:

• y = (-cos(x) + C)/x.

Шаг 7: Запишем общее решение.

Таким образом, общее решение данного уравнения имеет вид:

• y = 1/x * (C - cos(x)),

где C - произвольная константа.

Таким образом, правильный ответ:

• y = 1/x * (C - cos(x)).