Похожие вопросы
2025-04-13 00:35:54
Найдите общее решение уравнения y' +y/x = sinx/x
- y = 1/x ⋅ (C − cosx)
- y = 1/x ⋅ (C − sinx)
- y = 1/x ⋅ (C + cosx)
Другие предметы Колледж Дифференциальные уравнения первого порядка высшая математика колледж общее решение Дифференциальные уравнения уравнение y' + y/x = sinx/x методы решения уравнений математический анализ теоретическая математика
2025-04-13 00:36:08
Для решения уравнения первого порядка y' + y/x = sin(x)/x мы будем использовать метод интегрирующего множителя.
Шаг 1: Приведем уравнение к стандартному виду.
У нас есть уравнение:
y' + (1/x)y = sin(x)/x.
Шаг 2: Найдем интегрирующий множитель.
Интегрирующий множитель μ(x) можно найти по формуле:
μ(x) = e^(∫(1/x)dx) = e^(ln|x|) = |x|.
Для простоты мы будем использовать μ(x) = x.
Шаг 3: Умножим уравнение на интегрирующий множитель.
Умножим все части уравнения на x:
- x*y' + y = sin(x).
Шаг 4: Преобразуем левую часть уравнения.
Левая часть уравнения теперь является производной произведения:
(xy)' = sin(x).
Шаг 5: Интегрируем обе стороны уравнения.
Интегрируем:
- ∫(xy)'dx = ∫sin(x)dx.
Это дает:
- xy = -cos(x) + C,
где C - произвольная константа интегрирования.
Шаг 6: Найдем y.
Теперь выразим y:
- y = (-cos(x) + C)/x.
Шаг 7: Запишем общее решение.
Таким образом, общее решение данного уравнения имеет вид:
- y = 1/x * (C - cos(x)),
где C - произвольная константа.
Таким образом, правильный ответ:
- y = 1/x * (C - cos(x)).
