Чтобы найти полный дифференциал функции, нам нужно сначала найти частные производные функции по каждой из переменных, а затем использовать их для составления полного дифференциала.

Рассмотрим функцию z = sin(xy) + x²y².

Шаг 1: Найдем частную производную функции z по переменной x.

• Для первого слагаемого sin(xy) используем правило дифференцирования сложной функции. Производная синуса - это косинус, а внутри у нас произведение xy, поэтому:
  • Производная sin(xy) по x: cos(xy) * y.
• Для второго слагаемого x²y² производная по x будет:
  • Производная x²y² по x: 2xy².
• Таким образом, частная производная z по x: ∂z/∂x = cos(xy) * y + 2xy².

Шаг 2: Найдем частную производную функции z по переменной y.

• Для первого слагаемого sin(xy):
  • Производная sin(xy) по y: cos(xy) * x.
• Для второго слагаемого x²y² производная по y будет:
  • Производная x²y² по y: 2x²y.
• Таким образом, частная производная z по y: ∂z/∂y = cos(xy) * x + 2x²y.

Шаг 3: Составим полный дифференциал dz.

• Формула полного дифференциала: dz = (∂z/∂x)dx + (∂z/∂y)dy.
• Подставляем найденные частные производные:
  • dz = (cos(xy) * y + 2xy²)dx + (cos(xy) * x + 2x²y)dy.

Таким образом, полный дифференциал функции z = sin(xy) + x²y² равен:

dz = (cos(xy) * y + 2xy²)dx + (cos(xy) * x + 2x²y)dy.