Чтобы найти производную функции f(x) = (1 + cos(x))sin(x) / (1 + cos(2x)cos(x) + sin(2x)cos(x) + cos(2x)), мы будем использовать правило производной для дроби и производные элементарных функций.

Обозначим числитель и знаменатель:

• Числитель: N(x) = (1 + cos(x))sin(x)
• Знаменатель: D(x) = 1 + cos(2x)cos(x) + sin(2x)cos(x) + cos(2x)

Теперь можем использовать правило производной для дроби:

Если u(x) и v(x) - функции, то производная их отношения (u/v)' дается формулой:

(u/v)' = (u'v - uv') / v²

Теперь найдем производные u(x) и v(x):

1. Найдем u'(x):
• u(x) = (1 + cos(x))sin(x)
• Применим правило произведения: (fg)' = f'g + fg'
• f = (1 + cos(x)), g = sin(x)
• f' = -sin(x), g' = cos(x)
• u'(x) = (-sin(x))sin(x) + (1 + cos(x))cos(x)
• u'(x) = -sin²(x) + (1 + cos(x))cos(x)
2. Найдем v'(x):
• v(x) = 1 + cos(2x)cos(x) + sin(2x)cos(x) + cos(2x)
• Применим правило производной сложной функции и произведения.
• v'(x) = -2sin(2x)cos(x) + cos(2x)(-sin(x)) + 2cos(2x)sin(x)
• v'(x) = -2sin(2x)cos(x) - sin(x)cos(2x) + 2cos(2x)sin(x)

Теперь подставим u'(x) и v'(x) в формулу для производной дроби:

f'(x) = (u'v - uv') / v²

Подставляем:

f'(x) = [(-sin²(x) + (1 + cos(x))cos(x))(1 + cos(2x)cos(x) + sin(2x)cos(x) + cos(2x)) - (1 + cos(x))sin(x)(-2sin(2x)cos(x) - sin(x)cos(2x) + 2cos(2x)sin(x))] / (1 + cos(2x)cos(x) + sin(2x)cos(x) + cos(2x))²

Теперь у нас есть выражение для производной функции. Вы можете упростить его дальше, если это необходимо, но основная задача — найти производную — уже выполнена.