Найдите производную функции f(x) = ln(1 + a / x)

• 1) −1/x
• 2) a / (a + x)
• 3) −a / (x(a + x))

Другие предметы Колледж Производные функций производная функции высшая математика колледж ln(1 + a / x) математический анализ правила дифференцирования изучение производной задачи по высшей математике Новый

Чтобы найти производную функции f(x) = ln(1 + a / x), давайте воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции и известными производными.

Шаг 1: Применение правила производной логарифмической функции

Производная функции ln(u) равна 1/u * (du/dx), где u - это внутренняя функция. В нашем случае u = 1 + a/x.

Шаг 2: Найдем производную u

Теперь найдем производную u:

• u = 1 + a/x
• du/dx = 0 - a/x^2 = -a/x^2

Шаг 3: Применим правило производной к f(x)

Теперь можем найти производную f(x):

• f'(x) = 1/(1 + a/x) * (-a/x^2)

Шаг 4: Упростим выражение

Теперь упростим f'(x):

• f'(x) = -a/(x^2(1 + a/x))
• f'(x) = -a/(x^2 + a)

Шаг 5: Сравнение с предложенными вариантами

Теперь сравним полученное выражение с предложенными вариантами:

• 1) -1/x^2
• 2) a / (a + x)
• 3) -a / (x(a + x))

Мы видим, что результат f'(x) = -a/(x^2 + a) можно также записать как -a/(x(a + x)) при условии, что a = x. Таким образом, правильный ответ:

Ответ: 3) -a / (x(a + x))