Найдите ∫ √(x)dx / (1 + x)

Другие предметы Колледж Интегралы интеграл √(x)dx математический анализ колледж ∫ √(x)dx / (1 + x) Новый

Чтобы найти интеграл ∫ √(x) dx / (1 + x), мы можем использовать метод подстановки. Давайте рассмотрим шаги решения.

1. Сначала сделаем подстановку. Пусть u = √(x). Тогда x = u², и dx = 2u du.

2. Теперь подставим это в наш интеграл:

   ∫ √(x) dx / (1 + x) = ∫ u (2u du) / (1 + u²).

   Это можно упростить до:

   ∫ (2u²) / (1 + u²) du.

3. Теперь разделим интеграл на две части:

   ∫ (2u²) / (1 + u²) du = ∫ 2 du - ∫ (2) / (1 + u²) du.

4. Теперь решим каждый из этих интегралов по отдельности:

   • Первый интеграл: ∫ 2 du = 2u.

   • Второй интеграл: ∫ (2) / (1 + u²) du = 2 arctan(u).

5. Теперь объединим результаты:

   ∫ (2u²) / (1 + u²) du = 2u - 2 arctan(u) + C, где C - константа интегрирования.

6. Теперь вернемся к переменной x, подставив обратно u = √(x):

   2√(x) - 2 arctan(√(x)) + C.

Таким образом, ответ:

∫ √(x) dx / (1 + x) = 2√(x) - 2 arctan(√(x)) + C.