Чтобы решить интеграл ∫ (cos²(x) * cos³(x)) dx, давайте сначала упростим выражение, которое мы интегрируем. Мы можем использовать тригонометрические тождества и свойства интегралов для этого.

Шаг 1: Упрощение выражения

• Мы можем выразить cos²(x) через cos(x): cos²(x) = (cos(x))².
• Таким образом, интеграл можно переписать как ∫ (cos(x)² * cos(x)³) dx = ∫ (cos(x)⁵) dx.

Шаг 2: Использование тригонометрического тождества

• Для интегрирования выражения cos(x)⁵, мы можем использовать формулу для cos²(x): cos²(x) = (1 + cos(2x)) / 2.
• Таким образом, мы можем записать: cos(x)⁵ = cos(x) * (cos²(x))² = cos(x) * ((1 + cos(2x)) / 2)².

Шаг 3: Раскрытие скобок

• Теперь раскроем скобки: (1 + cos(2x))² = 1 + 2cos(2x) + cos²(2x).
• Итак, у нас получается: cos(x)⁵ = cos(x) * (1/4) * (1 + 2cos(2x) + (1 + cos(4x)) / 2).

Шаг 4: Интегрирование

• Теперь мы можем интегрировать каждую часть отдельно:
• ∫ cos(x) dx, ∫ cos(x) * cos(2x) dx, и ∫ cos(x) * cos(4x) dx.

Шаг 5: Сбор результатов

• После интегрирования мы получим общий результат, который нужно будет сложить.

Теперь, что касается выражения, которое вы указали, оно включает дополнительные члены, такие как c1/2 * x, 1/4 * sin(2x) и другие. Эти члены могут быть просто добавлены к результату интегрирования, так как они являются постоянными или линейными функциями.

Шаг 6: Объединение результатов

• Соберите все части вместе, включая интеграл, который вы нашли, и дополнительные члены.

В итоге, ваш ответ будет представлять собой интеграл плюс все постоянные и линейные члены, которые были указаны в вашем вопросе. Не забудьте добавить константу интегрирования C.