Найти коэффициент при x³y⁶z¹²в разложении (3x+2y²+4z³​​​​) ¹⁰

Другие предметы Колледж Комбинаторика дискретная математика колледж коэффициент разложение многочлен комбинаторика формулы Задания примеры учебные материалы Новый

Для нахождения коэффициента при x³y⁶z¹² в разложении (3x + 2y² + 4z³)¹⁰ воспользуемся теоремой многочленов, которая позволяет находить коэффициенты в разложении многочлена.

Рассмотрим общий член в разложении (a + b + c)ⁿ, который можно записать в виде:

• C(n; k1, k2, k3) * a^k1 * b^k2 * c^k3,

где C(n; k1, k2, k3) - это коэффициент многочлена, а k1, k2 и k3 - это степени, в которые возводятся соответствующие члены.

В нашем случае:

• a = 3x,
• b = 2y²,
• c = 4z³,
• n = 10.

Нам нужно найти такие k1, k2 и k3, чтобы:

• k1 + k2 + k3 = 10,
• k1 = 3,
• 2 * k2 = 6 (то есть k2 = 3),
• 3 * k3 = 12 (то есть k3 = 4).

Таким образом, мы имеем:

• k1 = 3,
• k2 = 3,
• k3 = 4.

Теперь проверим, соблюдаются ли условия:

• k1 + k2 + k3 = 3 + 3 + 4 = 10 (условие выполняется).

Теперь найдем коэффициент при этом члене:

Коэффициент будет равен:

• C(10; 3, 3, 4) * (3x)³ * (2y²)³ * (4z³)⁴.

Сначала найдем C(10; 3, 3, 4):

C(10; 3, 3, 4) = 10! / (3! * 3! * 4!)

Теперь подставим значения:

• 10! = 3628800,
• 3! = 6,
• 4! = 24.

Таким образом:

C(10; 3, 3, 4) = 3628800 / (6 * 6 * 24) = 3628800 / 864 = 4200.

Теперь подставим в формулу для коэффициента:

Коэффициент = 4200 * (3³) * (2³) * (4⁴).

Теперь посчитаем значения:

• 3³ = 27,
• 2³ = 8,
• 4⁴ = 256.

Теперь подставим:

Коэффициент = 4200 * 27 * 8 * 256.

Сначала умножим 27 и 8:

27 * 8 = 216.

Теперь умножим на 256:

216 * 256 = 55296.

Теперь умножим на 4200:

Коэффициент = 4200 * 55296 = 232752000.

Таким образом, коэффициент при x³y⁶z¹² в разложении (3x + 2y² + 4z³)¹⁰ равен 232752000.