Найти методом Ньютона с погрешностью, не превышающей 0.01, корень уравнения ƒ(x) = 0.1/(5x2 + x) – x = 0

Другие предметы Колледж Метод Ньютона метод Ньютона вычислительные методы корень уравнения погрешность 0.01 ƒ(x) = 0.1/(5x2 + x) – x = 0 колледж численные методы Новый

Для решения уравнения ƒ(x) = 0.1/(5x² + x) – x = 0 методом Ньютона, мы будем следовать нескольким шагам. Метод Ньютона основан на итерационном процессе, который использует производную функции для нахождения корня. Давайте разберем шаги подробно:

Шаг 1: Определение функции и ее производной

Сначала определим функцию ƒ(x) и найдем ее производную. Функция задана как:

ƒ(x) = 0.1/(5x² + x) – x

Теперь найдем производную ƒ'(x). Мы можем использовать правило частного для нахождения производной:

• ƒ'(x) = d(0.1/(5x² + x))/dx - d(x)/dx

Для нахождения производной первой части используем правило частного:

• ƒ'(x) = -0.1 * (5(2x) + 1)/(5x² + x)² - 1

Шаг 2: Выбор начального приближения

Теперь нам нужно выбрать начальное приближение x₀. Для этого можно проанализировать график функции или просто выбрать значение, которое, по вашему мнению, близко к корню. Предположим, мы выберем x₀ = 0.1.

Шаг 3: Итерационный процесс

Метод Ньютона обновляет значение x по следующей формуле:

• x₁ = x₀ - ƒ(x₀)/ƒ'(x₀)

Теперь мы будем итеративно вычислять значения x, пока разница между последовательными значениями не станет меньше 0.01.

Шаг 4: Выполнение итераций

1. Вычисляем ƒ(x₀) и ƒ'(x₀):
2. Подставляем в формулу для x₁:
3. Проверяем условие остановки: |x₁ - x₀| < 0.01.
4. Если условие не выполнено, обновляем x₀ = x₁ и повторяем шаги 1-3.

Шаг 5: Пример вычислений

Предположим, на первой итерации мы получили:

• x₀ = 0.1
• ƒ(0.1) = 0.1/(5(0.1)² + 0.1) - 0.1
• ƒ'(0.1) = -0.1 * (5(2*0.1) + 1)/(5(0.1)² + 0.1)² - 1

Вычисляем x₁ и проверяем условие остановки. Продолжаем итерации до тех пор, пока |x₁ - x₀| < 0.01.

Шаг 6: Заключение

После выполнения всех итераций, вы получите значение корня уравнения с заданной точностью. Не забудьте, что при использовании метода Ньютона важно следить за тем, чтобы производная не равнялась нулю, так как это может привести к делению на ноль.