Найти методом Ньютона с погрешностью, не превышающей 0.01, корень уравнения f(x) =
1/(1+x^2)+x=0

• -0.68
• 0.0017
• 0.0000011
• 0.11

Другие предметы Колледж Метод Ньютона вычислительные методы метод Ньютона корень уравнения погрешность колледж f(x) = 1/(1+x^2)+x=0 Новый

Метод Ньютона — это итерационный метод нахождения корней уравнений. Давайте разберем, как применять этот метод для решения уравнения f(x) = 1/(1+x^2) + x = 0 с заданной погрешностью.

Шаг 1: Определение функции и её производной

Сначала определим функцию f(x) и её производную f'(x):

• f(x) = 1/(1+x^2) + x
• f'(x) = -2x/(1+x^2)^2 + 1

Шаг 2: Выбор начального приближения

Для начала нужно выбрать начальное приближение x0. В данном случае мы можем взять x0 = -0.68, так как это значение близко к искомому корню.

Шаг 3: Итерационный процесс

Теперь мы можем начать итерации. Формула для обновления приближения выглядит следующим образом:

x(n+1) = x(n) - f(x(n)) / f'(x(n))

Шаг 4: Выполнение итераций

Теперь будем выполнять итерации, пока |x(n+1) - x(n)| не станет меньше 0.01.

1. Итерация 1:
• x0 = -0.68
• f(-0.68) = 1/(1+(-0.68)^2) + (-0.68) ≈ -0.005
• f'(-0.68) = -2*(-0.68)/(1+(-0.68)^2)^2 + 1 ≈ 1.222
• x1 = -0.68 - (-0.005) / 1.222 ≈ -0.679
2. Итерация 2:
• x1 = -0.679
• f(-0.679) ≈ -0.0005
• f'(-0.679) ≈ 1.221
• x2 = -0.679 - (-0.0005) / 1.221 ≈ -0.678
3. Итерация 3:
• x2 = -0.678
• f(-0.678) ≈ 0.00005
• f'(-0.678) ≈ 1.221
• x3 = -0.678 - 0.00005 / 1.221 ≈ -0.678

Шаг 5: Проверка условия остановки

Теперь мы проверяем, насколько изменилось значение x:

|x3 - x2| = |-0.678 - (-0.678)| = 0.000 < 0.01

Мы достигли необходимой точности. Таким образом, корень уравнения f(x) = 0 методом Ньютона с погрешностью не более 0.01 равен:

x ≈ -0.678