Найти методом Ньютона с погрешностью, не превышающей 0.01, корень уравнения ƒ(x) = 0.1/(x + 1) – x = 0

Другие предметы Колледж Метод Ньютона метод Ньютона вычислительные методы корень уравнения погрешность ƒ(x) = 0.1/(x + 1) – x = 0 колледж Новый

Метод Ньютона - это итерационный метод для нахождения корней уравнений. Давайте разберем, как применить этот метод для уравнения ƒ(x) = 0.1/(x + 1) - x = 0.

Шаг 1: Найдем производную функции

Для применения метода Ньютона нам нужно найти производную функции ƒ(x). Мы имеем:

• ƒ(x) = 0.1/(x + 1) - x

Теперь найдем производную ƒ'(x):

• ƒ'(x) = -0.1/(x + 1)² - 1

Шаг 2: Выберем начальное приближение

Метод Ньютона требует начального приближения. Давайте возьмем x₀ = 0, так как это простое значение и, вероятно, близко к корню.

Шаг 3: Применим метод Ньютона

Формула метода Ньютона выглядит так:

• x_{n+1} = x_n - ƒ(x_n) / ƒ'(x_n)

Теперь будем итеративно вычислять новые значения x, пока не достигнем необходимой точности.

Шаг 4: Итерации

1. Для x₀ = 0:
• ƒ(0) = 0.1/(0 + 1) - 0 = 0.1
• ƒ'(0) = -0.1/(0 + 1)² - 1 = -1.1
• Теперь считаем x₁:
• x₁ = 0 - 0.1 / (-1.1) ≈ 0.0909
2. Для x₁ ≈ 0.0909:
• ƒ(0.0909) ≈ 0.1/(0.0909 + 1) - 0.0909 ≈ 0.1/1.0909 - 0.0909 ≈ 0.000917
• ƒ'(0.0909) ≈ -0.1/(0.0909 + 1)² - 1 ≈ -1.1
• Считаем x₂:
• x₂ ≈ 0.0909 - 0.000917 / (-1.1) ≈ 0.0909 + 0.000833 ≈ 0.0917
3. Для x₂ ≈ 0.0917:
• ƒ(0.0917) ≈ 0.1/(0.0917 + 1) - 0.0917 ≈ 0.000004
• ƒ'(0.0917) ≈ -1.1
• Считаем x₃:
• x₃ ≈ 0.0917 - 0.000004 / (-1.1) ≈ 0.0917 + 0.000004 ≈ 0.0917

Шаг 5: Проверка точности

Теперь проверим, насколько точно мы нашли корень. Мы остановимся, когда значение ƒ(x) будет меньше 0.01.

На последней итерации ƒ(0.0917) ≈ 0.000004, что меньше 0.01, значит, мы достигли необходимой точности.

Ответ: Корень уравнения ƒ(x) = 0 с погрешностью не более 0.01 равен примерно 0.0917.