Метод Ньютона — это итерационный метод для нахождения корней уравнений. Давайте решим уравнение f(x) = 1/(x+1) - x = 0 с помощью этого метода, следуя нескольким шагам.

Сначала определим функцию:

• f(x) = 1/(x+1) - x

Теперь найдем производную этой функции:

• f'(x) = -1/(x+1)^2 - 1

Выберем начальное приближение x0. Для этого можно использовать значения, которые вы привели. Например, возьмем x0 = 0.1.

Теперь применим формулу метода Ньютона:

• x_{n+1}= x_n - f(x_n) / f'(x_n)

Теперь будем итеративно вычислять значения:

• x0 = 0.1
• f(0.1) = 1/(0.1+1) - 0.1 = 0.909 - 0.1 = 0.809
• f'(0.1) = -1/(0.1+1)^2 - 1 = -1/1.21 - 1 ≈ -0.826
• x1 = 0.1 - 0.809 / -0.826 ≈ 0.1 + 0.978 ≈ 1.078

• x1 ≈ 1.078
• f(1.078) = 1/(1.078+1) - 1.078 ≈ 0.925 - 1.078 ≈ -0.153
• f'(1.078) = -1/(1.078+1)^2 - 1 ≈ -0.862 - 1 ≈ -1.862
• x2 = 1.078 - (-0.153) / (-1.862) ≈ 1.078 + 0.082 ≈ 1.160

• x2 ≈ 1.160
• f(1.160) = 1/(1.160+1) - 1.160 ≈ 0.872 - 1.160 ≈ -0.288
• f'(1.160) = -1/(1.160+1)^2 - 1 ≈ -0.740 - 1 ≈ -1.740
• x3 = 1.160 - (-0.288) / (-1.740) ≈ 1.160 + 0.166 ≈ 1.326

Продолжаем итерации до тех пор, пока разница между двумя последовательными значениями не станет меньше 0.01.

• x3 ≈ 1.326
• f(1.326) = 1/(1.326+1) - 1.326 ≈ 0.753 - 1.326 ≈ -0.573
• f'(1.326) = -1/(1.326+1)^2 - 1 ≈ -0.571 - 1 ≈ -1.571
• x4 = 1.326 - (-0.573) / (-1.571) ≈ 1.326 + 0.365 ≈ 1.691

• x4 ≈ 1.691
• f(1.691) = 1/(1.691+1) - 1.691 ≈ 0.591 - 1.691 ≈ -1.100
• f'(1.691) = -1/(1.691+1)^2 - 1 ≈ -0.442 - 1 ≈ -1.442
• x5 = 1.691 - (-1.100) / (-1.442) ≈ 1.691 + 0.764 ≈ 2.455

Продолжаем итерации, пока разница между x_{n+1}и x_n не станет меньше 0.01. После нескольких итераций, мы получим корень уравнения, который будет удовлетворять заданной погрешности.

Таким образом, с помощью метода Ньютона мы можем найти корень уравнения f(x) = 0 с требуемой точностью.