Найти методом Ньютона с погрешностью, не превышающей 0.01, корень уравнения ƒ(x) = 0.ln x – 4 + x = 0

Другие предметы Колледж Метод Ньютона метод Ньютона вычислительные методы корень уравнения погрешность 0.01 ƒ(x) = 0 колледж Новый

Для решения уравнения ƒ(x) = 0, где ƒ(x) = 0.1 * ln(x) - 4 + x, методом Ньютона, следуем следующим шагам:

Шаг 1: Найдем производную функции

Сначала необходимо найти производную функции ƒ(x). Производная ƒ'(x) будет равна:

• ƒ'(x) = 0.1/x + 1

Шаг 2: Выберем начальное приближение

Метод Ньютона требует начального приближения. Подберем начальное значение x0. Например, x0 = 1 будет разумным выбором, так как ln(1) = 0 и это значение не слишком далеко от предполагаемого корня.

Шаг 3: Применим метод Ньютона

Формула метода Ньютона выглядит следующим образом:

• x(n+1) = x(n) - ƒ(x(n)) / ƒ'(x(n))

Теперь будем итеративно применять эту формулу, пока не достигнем необходимой точности (погрешность не более 0.01).

Шаг 4: Итерации

Начнем итерации:

1. Для x0 = 1:
• ƒ(1) = 0.1 * ln(1) - 4 + 1 = -3.9
• ƒ'(1) = 0.1/1 + 1 = 1.1
• x1 = 1 - (-3.9) / 1.1 = 1 + 3.545 = 4.545
2. Для x1 = 4.545:
• ƒ(4.545) = 0.1 * ln(4.545) - 4 + 4.545 ≈ 0.069
• ƒ'(4.545) = 0.1/4.545 + 1 ≈ 1.022
• x2 = 4.545 - 0.069 / 1.022 ≈ 4.545 - 0.0676 ≈ 4.4774
3. Для x2 = 4.4774:
• ƒ(4.4774) ≈ 0.1 * ln(4.4774) - 4 + 4.4774 ≈ 0.0021
• ƒ'(4.4774) ≈ 0.1/4.4774 + 1 ≈ 1.0224
• x3 = 4.4774 - 0.0021 / 1.0224 ≈ 4.4774 - 0.00205 ≈ 4.47535
4. Для x3 = 4.47535:
• ƒ(4.47535) ≈ 0.1 * ln(4.47535) - 4 + 4.47535 ≈ 0.0001
• ƒ'(4.47535) ≈ 0.1/4.47535 + 1 ≈ 1.0225
• x4 = 4.47535 - 0.0001 / 1.0225 ≈ 4.47535 - 0.0000978 ≈ 4.47525

Шаг 5: Проверка погрешности

Теперь проверим погрешность между x4 и x3:

• Погрешность = |x4 - x3| = |4.47525 - 4.47535| = 0.0001

Поскольку погрешность 0.0001 < 0.01, мы можем остановиться.

Ответ:

Корень уравнения ƒ(x) = 0, найденный методом Ньютона, составляет приблизительно 4.47525.