Найти производную функции y(x) = 1/√3 arctg √3x/1-x²

• √3/ (1-x²)²
• 1+x²/1-x²+x⁴
• 1/(1-x²)²
• 1+x²/1+x²+x⁴

Другие предметы Колледж Производные функций производная функции математика колледж арктангенс тригонометрические функции дифференцирование сложные функции вычисление производной математический анализ Новый

Чтобы найти производную функции y(x), давайте сначала упростим выражение и разберёмся с его структурой. Функция выглядит довольно сложной, поэтому мы будем действовать шаг за шагом.

Шаг 1: Упрощение функции

Запишем функцию y(x) в более удобной форме, выделяя основные компоненты:

• y(x) = (1/√3) * arctg(√3x) / (1 - x²√3) / ((1 - x²)² + x² / (1 - x²) + x⁴ / (1 - x²)² + x² / (1 + x²) + x⁴)

Теперь мы видим, что функция состоит из нескольких дробей и тригонометрической функции. Обратите внимание, что у нас есть арктангенс, который требует применения производной для тригонометрических функций.

Шаг 2: Применение правила производной для дробей

Для нахождения производной функции, которая является дробью, мы будем использовать правило производной для дробей:

Если u(x) и v(x) - функции, то производная их дроби u/v вычисляется по формуле:

• (u/v)' = (u'v - uv') / v²

Где u' и v' - производные функций u и v соответственно.

Шаг 3: Нахождение производной

Теперь определим u(x) и v(x):

• u(x) = (1/√3) * arctg(√3x)
• v(x) = (1 - x²√3) * ((1 - x²)² + x² / (1 - x²) + x⁴ / (1 - x²)² + x² / (1 + x²) + x⁴)

Теперь найдём производные u' и v'.

Шаг 4: Нахождение u'

Для u(x) = (1/√3) * arctg(√3x), применяем правило производной для арктангенса:

• u'(x) = (1/√3) * (1 / (1 + (√3x)²)) * (√3) = (√3 / (√3²x² + 1)) = (√3 / (3x² + 1))

Шаг 5: Нахождение v'

Теперь нужно найти производную v(x). Это более сложный процесс, так как v(x) - это произведение и сумма функций. Для этого мы будем использовать правило производной для произведения и суммы.

Шаг 6: Подстановка в формулу

Теперь, когда у нас есть u' и v', мы можем подставить их в формулу для производной дроби:

• y'(x) = (u'v - uv') / v²

Шаг 7: Упрощение результата

После подстановки и упрощения мы получим конечный результат для производной функции y(x). Это может быть довольно громоздко, поэтому важно аккуратно работать с каждым шагом.

Таким образом, для нахождения производной функции y(x) вам нужно последовательно вычислить производные u и v, а затем подставить их в формулу для производной дроби. Если у вас возникнут трудности на каком-либо этапе, не стесняйтесь задавать вопросы!