Чтобы определить размерность линейного пространства L, заданного в виде множества многочленов вида ax² + 2bx + (a+b),где a и b - произвольные числа, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определите общий вид элементов пространства:
   • Элементы пространства L имеют вид: ax² + 2bx + (a+b).
   • Это выражение представляет собой многочлен второй степени.
2. Выразите элементы пространства через базисные векторы:
   • Рассмотрим выражение ax² + 2bx + (a+b) как линейную комбинацию трех базисных векторов в пространстве многочленов степени не выше второй: x², x и 1.
   • Таким образом, многочлен можно переписать как: a*x² + 2b*x + a + b = a*x² + 2b*x + b + a.
   • Это выражение будет линейной комбинацией трех базисных векторов: x², x и 1.
3. Проверьте линейную независимость базисных векторов:
   • Для проверки линейной независимости предположим, что существует линейная комбинация: c₁*x² + c₂*x + c₃ = 0, где c₁, c₂, c₃ - коэффициенты.
   • Равенство должно выполняться для всех значений x. Это возможно только если все коэффициенты равны нулю: c₁ = 0, c₂ = 0, c₃ = 0.
   • Следовательно, векторы x², x и 1 линейно независимы.
4. Определите размерность пространства:
   • Так как многочлен ax² + 2bx + (a+b) может быть представлен как линейная комбинация трех линейно независимых векторов (x², x и 1),размерность пространства L равна 3.

Таким образом, размерность линейного пространства L равна 3.