Похожие вопросы
2025-07-20 02:15:12
Областью определения функции y = (5 − x) / √(x² − 8x + 7) является:
- x ∈ (−∞; +∞);
- x ∈ (1; 7);
- x ∈ [1; 7);
- x ∈ (−∞; 1) ⋃ (7; +∞);
- x ∈ (−∞; 1] ⋃ [7; +∞).
Другие предметы Колледж Область определения функции высшая математика область определения функции колледж функции математический анализ решение задач неравенства дробно-рациональные функции корни уравнений интервалы определения
2025-07-20 02:15:30
Чтобы найти область определения функции y = (5 − x) / √(x² − 8x + 7), необходимо учитывать два важных условия:
- Знаменатель не должен равняться нулю.
- Значение под корнем должно быть неотрицательным.
Рассмотрим знаменатель: √(x² − 8x + 7). Для начала упростим выражение под корнем:
x² − 8x + 7 можно разложить на множители. Найдем корни этого квадратного уравнения:
Корни уравнения находятся по формуле: x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a, где a = 1, b = −8, c = 7.
В нашем случае:
- b² = (−8)² = 64;
- 4ac = 4 * 1 * 7 = 28;
- Дискриминант D = 64 − 28 = 36.
Теперь находим корни:
- x₁ = (8 + √36) / 2 = (8 + 6) / 2 = 7;
- x₂ = (8 − √36) / 2 = (8 − 6) / 2 = 1.
Таким образом, у нас есть два корня: x = 1 и x = 7.
Теперь проанализируем выражение x² − 8x + 7:
- При x < 1, например, x = 0: 0² − 8*0 + 7 = 7 > 0;
- При 1 < x < 7, например, x = 2: 2² − 8*2 + 7 = 4 − 16 + 7 = −5 < 0;
- При x > 7, например, x = 8: 8² − 8*8 + 7 = 64 − 64 + 7 = 7 > 0.
Таким образом, выражение под корнем неотрицательно (и, следовательно, корень существует) на интервалах:
- x ∈ (−∞; 1) и x ∈ (7; +∞).
При x = 1 и x = 7 выражение под корнем равно нулю, и знаменатель будет равен нулю, что недопустимо для функции. Поэтому эти точки не входят в область определения.
Итак, окончательная область определения функции:
x ∈ (−∞; 1) ⋃ (7; +∞).