Чтобы найти определенный интеграл ∫ (x / √(1 + x)) dx на интервале от x = 0 до x = 3, мы должны сначала найти неопределенный интеграл, а затем применить пределы интегрирования.

1. Замена переменной: Упростим интеграл с помощью замены переменной. Пусть u = √(1 + x). Тогда u^2 = 1 + x, и x = u^2 - 1.

2. Найти производную: Теперь найдем производную u по x. Если u = √(1 + x),то du/dx = 1/(2√(1 + x)).

3. Выразить dx: Поскольку du/dx = 1/(2u),то dx = 2u du.

4. Подставить в интеграл: Подставим x и dx в интеграл:

• ∫ (x / √(1 + x)) dx = ∫ ((u^2 - 1) / u) * 2u du
• = ∫ (2u^2/u - 2/u) du
• = ∫ (2u - 2/u) du

5. Вычислить неопределенный интеграл: Теперь вычислим интеграл:

• ∫ 2u du = u^2
• ∫ (-2/u) du = -2 ln|u|

Таким образом, неопределенный интеграл будет:

• u^2 - 2 ln|u| + C

6. Вернуться к переменной x: Теперь вернемся к переменной x:

• u = √(1 + x),поэтому u^2 = 1 + x
• ∫ (x / √(1 + x)) dx = (1 + x) - 2 ln|√(1 + x)| + C

7. Определенный интеграл: Теперь применим пределы интегрирования:

• Находим значение интеграла при x = 3:
• (1 + 3) - 2 ln|√(1 + 3)| = 4 - 2 ln(2)
• Находим значение интеграла при x = 0:
• (1 + 0) - 2 ln|√(1 + 0)| = 1 - 2 ln(1) = 1

8. Вычисление разности: Теперь вычтем значения:

• [4 - 2 ln(2)] - [1 - 2 ln(1)] = 4 - 2 ln(2) - 1
• = 3 - 2 ln(2)

Однако, значение ln(2) не влияет на выбор из предложенных вариантов. Если использовать приближенное значение ln(2) ≈ 0.693, то:

• 3 - 2 * 0.693 ≈ 3 - 1.386 ≈ 1.614

Таким образом, ни один из предложенных вариантов (8/3, 3/8, 1/3) не соответствует вычисленному значению. Возможно, в условии задачи ошибка, или требуется уточнить подход к решению. Однако, если рассматривать предложенные варианты, наиболее близким может быть 8/3 ≈ 2.666, но это не совпадает с нашим результатом.