Чтобы найти значение определенного интеграла ∫ (x / √(1 + x)) dx на интервале от 0 до 3, мы будем следовать нескольким шагам.

Шаг 1: Найдем неопределенный интеграл.

Для начала нам нужно вычислить неопределенный интеграл функции x / √(1 + x). Мы можем использовать метод подстановки.

• Пусть u = 1 + x. Тогда du = dx, и x = u - 1.
• Теперь подставим это в интеграл:
• ∫ (x / √(1 + x)) dx = ∫ ((u - 1) / √u) du.
• Разделим интеграл на два:
• ∫ (u / √u) du - ∫ (1 / √u) du = ∫ (√u) du - ∫ (u^(-1/2)) du.
• Теперь вычислим каждый из этих интегралов:
• ∫ (√u) du = (2/3) u^(3/2) + C.
• ∫ (u^(-1/2)) du = 2 u^(1/2) + C.

Теперь подставим результаты обратно:

∫ (x / √(1 + x)) dx = (2/3) (1 + x)^(3/2) - 2 (1 + x)^(1/2) + C.

Шаг 2: Найдем определенный интеграл от 0 до 3.

Теперь нам нужно подставить границы интегрирования:

• Подставляем верхнюю границу (x = 3):
• (2/3) (1 + 3)^(3/2) - 2 (1 + 3)^(1/2) = (2/3) (4)^(3/2) - 2 (4)^(1/2).
• (2/3) * 8 - 2 * 2 = (16/3) - 4 = (16/3) - (12/3) = 4/3.
• Теперь подставляем нижнюю границу (x = 0):
• (2/3) (1 + 0)^(3/2) - 2 (1 + 0)^(1/2) = (2/3) * 1 - 2 * 1 = (2/3) - 2 = (2/3) - (6/3) = -4/3.

Теперь вычтем значение нижней границы из значения верхней границы:

∫ (x / √(1 + x)) dx от 0 до 3 = (4/3) - (-4/3) = (4/3) + (4/3) = 8/3.

Ответ: Значение определенного интеграла ∫ (x / √(1 + x)) dx от 0 до 3 равно 8/3.