Похожие вопросы
2025-07-14 15:14:15
Признак Д`Аламбера(с док-вом)
Другие предметы Колледж Ряды кратные интегралы ряды признак Д`Аламбера доказательство колледж математика анализ высшая математика учебный материал примеры задач
2025-07-14 15:14:32
Признак Д'Аламбера, также известный как критерий сходимости для рядов, используется для определения сходимости бесконечных рядов. Давайте рассмотрим его более подробно.
Формулировка признака Д'Аламбера:
Пусть дан ряд вида:
a1 + a2 + a3 + ... + an + ... , где an > 0 для всех n.
Ряд сходится, если существует предел:
lim (n -> ∞) (an+1 / an) = L.
- Если L < 1, то ряд сходится.
- Если L > 1 или L = ∞, то ряд расходится.
- Если L = 1, то признак не дает информации о сходимости ряда.
Доказательство признака Д'Аламбера:
Для доказательства воспользуемся определением предела и свойствами геометрической прогрессии.
- Предположим, что L < 1. Это означает, что при достаточно больших n, значение an+1 / an будет меньше некоторого числа m, где m < 1. Мы можем записать:
- Теперь, если мы будем рассматривать последовательные члены ряда, мы можем выразить an через a1:
- Так как m < 1, то m^n стремится к 0 при n стремящемся к бесконечности. Это означает, что члены ряда становятся все меньше, и ряд сходится.
- Теперь рассмотрим случай, когда L > 1. В этом случае an+1 / an становится больше некоторого числа, которое больше 1. Это значит, что члены ряда не уменьшаются, и, следовательно, ряд расходится.
- Когда L = 1, мы не можем сделать никаких выводов, так как это не дает информации о поведении ряда.
an+1 < m * an.
an < m^(n-1) * a1.
Таким образом, признак Д'Аламбера позволяет нам эффективно проверять сходимость ряда, основываясь на отношении последовательных членов. Это особенно полезно для рядов с положительными членами.
