Радикальный признак Коши — это критерий сходимости числовых рядов, который позволяет определить, сходится ли ряд на основе поведения его членов. Давайте подробно рассмотрим этот признак и его доказательство.

Формулировка радикального признака Коши:

Ряд Σa_n (где n = 1 до бесконечности) сходится, если существует такое число R, что:

lim sup (n→∞) √(n)(|a_n|) = R < 1

И расходится, если R > 1. Если R = 1, то признак не даёт информации о сходимости ряда.

Доказательство:

1. Предположим, что R < 1. Это значит, что существует число ε > 0, такое что R + ε < 1.
2. По определению предела, для достаточно больших n мы можем найти такой N, что для всех n > N:
• √(n)(|a_n|) < R + ε.
3. Следовательно, |a_n| < (R + ε)/√(n) для всех n > N.
4. Теперь рассмотрим ряд Σ|a_n|. Мы можем оценить его, используя сравнение с рядом Σ(R + ε)/√(n).
5. Ряд Σ(1/√(n)) расходится, но мы можем использовать ряд Σ(1/n^p) с p > 1/2, который сходится.
6. Таким образом, наш ряд Σ|a_n| будет сходиться, что и требовалось доказать.

Теперь рассмотрим случай, когда R > 1. В этом случае:

1. Существует такое число ε > 0, что R - ε > 1.
2. Аналогично, мы можем найти N, такое что для всех n > N:
• √(n)(|a_n|) > R - ε.
3. Это значит, что |a_n| > (R - ε)/√(n), и ряд Σ|a_n| будет расходиться.

Таким образом, мы доказали, что:

• Если R < 1, то ряд сходится.
• Если R > 1, то ряд расходится.
• Если R = 1, то признак не даёт информации о сходимости.

Это и есть радикальный признак Коши. Он очень полезен для анализа сходимости рядов, особенно когда члены ряда имеют сложную форму.