Радикальный признак Коши — это критерий сходимости числовых рядов, который позволяет определить, сходится ли ряд на основе поведения его членов. Давайте разберем этот признак подробнее.

Формулировка радикального признака Коши:

Ряд вида Σa_n (где n = 1, 2, 3, ...) сходится, если:

lim (n → ∞) (n-ый корень из |a_n|) < 1,

и расходится, если:

lim (n → ∞) (n-ый корень из |a_n|) > 1.

Если же лимит равен 1, то признак не дает информации о сходимости ряда.

Доказательство:

Для доказательства радикального признака Коши, рассмотрим ряд Σa_n и предположим, что lim (n → ∞) (n-ый корень из |a_n|) = L.

1. Если L < 1:
• Существует такое число ε > 0, что L + ε < 1.
• Тогда существует натуральное число N, такое что для всех n > N выполняется неравенство:
• |a_n| < (1 - ε)^n.
• Рассмотрим ряд Σ(1 - ε)^n. Этот ряд является геометрическим, и он сходится, так как |1 - ε| < 1.
• По признаку сравнения, ряд Σa_n также будет сходиться.
2. Если L > 1:
• Существует такое число ε > 0, что L - ε > 1.
• Тогда существует натуральное число N, такое что для всех n > N выполняется неравенство:
• |a_n| > (1 + ε)^n.
• Рассмотрим ряд Σ(1 + ε)^n. Этот ряд является геометрическим, и он расходится, так как |1 + ε| > 1.
• По признаку сравнения, ряд Σa_n также будет расходиться.
3. Если L = 1:
• В этом случае признак не дает информации о сходимости ряда, и необходимо использовать другие методы для анализа.

Таким образом, мы доказали радикальный признак Коши. Этот признак является очень полезным инструментом для анализа сходимости числовых рядов, особенно когда члены ряда имеют сложную форму.