Признак сходимости рядов Лейбница позволяет определить, сходится ли ряд, состоящий из чередующихся членов. Этот признак применяется к рядам вида:

Сумма (-1)^n * a_n, где a_n – положительные члены, которые убывают и стремятся к нулю.

Формулировка признака Лейбница:

1. Если {a_n} - последовательность положительных чисел, такая что a_n > 0 для всех n.
2. Последовательность {a_n} убывает: a_n+1 <= a_n для всех n.
3. Предел a_n при n стремящемся к бесконечности равен нулю: lim (n -> ∞) a_n = 0.

Тогда ряд Сумма (-1)^n * a_n сходится.

Доказательство:

Рассмотрим частичные суммы ряда:

S_n = a_1 - a_2 + a_3 - a_4 + ... + (-1)^(n-1) * a_n.

Мы можем выразить S_n в следующем виде:

• Для четных n: S_n = (a_1 - a_2) + (a_3 - a_4) + ... + (a_{n-1} - a_n).
• Для нечетных n: S_n = (a_1 - a_2) + (a_3 - a_4) + ... + a_n.

В обоих случаях можно заметить, что:

• При n четном: S_n = S_(n-1) + a_n, где S_(n-1) - сумма до (n-1)-го члена.
• При n нечетном: S_n = S_(n-1) - a_n, где S_(n-1) - сумма до (n-1)-го члена.

Таким образом, при увеличении n, разница между последовательными частичными суммами будет уменьшаться, так как a_n убывает и стремится к нулю.

Теперь, чтобы показать, что S_n сходится, рассмотрим два случая:

• Для четных n: S_n <= S_(n-2) + a_n, так как a_n > 0 и S_(n-2) является суммой предыдущих членов.
• Для нечетных n: S_n >= S_(n-2) - a_n, что также показывает, что S_n не может расти бесконечно.

Таким образом, мы можем сказать, что последовательность частичных сумм S_n ограничена и монотонно убывает (или возрастает), что, согласно теореме о предельном переходе, указывает на сходимость ряда.

В заключение, признак Лейбница является мощным инструментом для определения сходимости чередующихся рядов, и его применение требует проверки трех условий: положительность, убывание и стремление к нулю.