Радикальный признак Коши — это один из критериев сходимости рядов, который позволяет определить, сходится ли ряд с помощью предела его членов. Давайте разберем его более подробно.

Рассмотрим ряд вида:

Σa_n, где a_n — это последовательность чисел.

Формулировка радикального признака Коши: Если существует предел:

lim (n→∞) √(n)(|a_n|) = L,

то:

• Если L < 1, то ряд Σa_n сходится.
• Если L > 1, то ряд Σa_n расходится.
• Если L = 1, то признак не дает информации о сходимости ряда.

Доказательство:

1. Предположим, что L < 1. Это означает, что для любого ε > 0 существует такой номер N, что для всех n > N выполняется:

√(n)(|a_n|) < L + ε.

2. Выберем ε = 1 - L (так как L < 1, это положительное число). Тогда:

√(n)(|a_n|) < 1.

3. Следовательно, |a_n| < 1/√(n) для всех n > N. Это позволяет нам использовать сравнение с рядом Σ(1/√(n)), который расходится.
4. Поэтому ряд Σa_n будет сходиться, так как его члены стремятся к нулю быстрее, чем члены расходящегося ряда.

5. Теперь предположим, что L > 1. В этом случае, для любого ε > 0, существует такой номер N, что для всех n > N выполняется:

√(n)(|a_n|) > L - ε.

6. Выберем ε = L - 1 (это также положительное число). Тогда:

√(n)(|a_n|) > 1.

7. Следовательно, |a_n| > 1/√(n) для всех n > N. Это также позволяет нам использовать сравнение с рядом Σ(1/√(n)), который расходится.
8. Таким образом, ряд Σa_n будет расходиться, так как его члены не стремятся к нулю быстрее, чем члены расходящегося ряда.

Таким образом, мы доказали радикальный признак Коши для сходимости и расходимости рядов.