Признак равномерной сходимости Вейерштрасса — это важный инструмент в анализе, который позволяет определить, сходится ли последовательность функций равномерно к некоторой функции. Давайте разберем его подробнее.

Формулировка признака Вейерштрасса:

Пусть {f_n(x)}— последовательность непрерывных функций, определенных на компакте K, и существует функция M(x),такая что:

• Для всех n и для всех x из K выполняется неравенство |f_n(x)| ≤ M(x);
• M(x) — непрерывная функция на компакте K;
• Функция M(x) интегрируема на K.

Тогда, если последовательность {f_n(x)}сходится к функции f(x) по точечному пределу на K, то она сходится равномерно на K.

Доказательство:

1. Пусть ε > 0 — произвольное положительное число.
2. Поскольку f_n(x) сходится к f(x) для каждого x из K, то по определению предела существует такой номер N, что для всех n ≥ N и для всех x из K выполняется неравенство |f_n(x) - f(x)| < ε/2.
3. Теперь, используя условие, что |f_n(x)| ≤ M(x),мы можем записать:
• |f(x)| ≤ |f_n(x)| + |f_n(x) - f(x)| ≤ M(x) + ε/2.
4. Поскольку M(x) интегрируема, то по теореме о равномерной сходимости существует такое M0, что:
• ∫_K M(x) dx < ∞.
5. Теперь мы можем использовать неравенство для f_n(x) и f(x) и показать, что:
• ∫_K |f_n(x) - f(x)| dx ≤ ∫_K M(x) dx + ε/2.
6. Таким образом, мы можем утверждать, что интеграл сходится к нулю, что и доказывает равномерную сходимость.

В итоге, признак Вейерштрасса позволяет нам утверждать, что при выполнении всех условий, последовательность функций {f_n(x)}будет сходиться равномерно к функции f(x) на компакте K.