Похожие вопросы
2025-09-04 18:14:55
Укажите общее решение уравнения y' – y / (x + 2) = x⁴(x + 2)
- y = (x + 2) ⋅ (x⁵/5 + C)
- y = (x⁵/5 + C) / (x + 2)
- y = x⁵/5 ⋅ (x + 2)
- y = (x + 2) ⋅ x⁵/5 + C
Другие предметы Колледж Дифференциальные уравнения первого порядка высшая математика колледж общее решение уравнения Дифференциальные уравнения математический анализ методы решения уравнений учебные материалы высшей математики задачи по высшей математике примеры дифференциальных уравнений решение уравнений для колледжа
2025-09-04 18:15:06
Чтобы найти общее решение уравнения y' - y / (x + 2) = x⁴(x + 2), давайте разберем его шаг за шагом.
Шаг 1: Приведение уравнения к стандартному виду
Уравнение имеет вид:
y' - (1 / (x + 2)) y = x⁴(x + 2).
Это линейное уравнение первого порядка. Мы можем использовать метод интегрирующего множителя для его решения.
Шаг 2: Нахождение интегрирующего множителя
Интегрирующий множитель μ(x) можно найти по формуле:
- μ(x) = e^(∫P(x) dx),
где P(x) = -1 / (x + 2).
Теперь вычислим интеграл:
- ∫P(x) dx = ∫(-1 / (x + 2)) dx = -ln|x + 2|.
Таким образом, интегрирующий множитель:
- μ(x) = e^(-ln|x + 2|) = 1 / (x + 2).
Шаг 3: Умножение уравнения на интегрирующий множитель
Теперь умножим все уравнение на μ(x):
- (1 / (x + 2)) y' - (1 / (x + 2)^2) y = x⁴.
Шаг 4: Преобразование левой части уравнения
Левая часть уравнения может быть записана как производная от произведения:
- d/dx[(y / (x + 2))] = x⁴.
Шаг 5: Интегрирование обеих частей
Теперь интегрируем обе стороны:
- ∫d/dx[(y / (x + 2))] dx = ∫x⁴ dx.
Это дает:
- (y / (x + 2)) = (x⁵ / 5) + C,
где C - произвольная константа интегрирования.
Шаг 6: Выражение y через x
Теперь умножим обе стороны на (x + 2):
- y = (x + 2) * (x⁵ / 5 + C).
Шаг 7: Общее решение
Таким образом, общее решение уравнения имеет вид:
- y = (x + 2) * (x⁵ / 5 + C).
Это и есть общее решение данного дифференциального уравнения. Вы можете записать его в различных формах, но основная структура останется неизменной.