Похожие вопросы
2025-09-04 18:15:10
Укажите общее решение уравнения y' – y / x = x ⋅ 1 / cos²x
- y = x(tgx + C)
- y = (tgx + C) / x
- y = xtgx
- y = x²/2 ⋅ (tgx + C)
Другие предметы Колледж Дифференциальные уравнения первого порядка высшая математика колледж решение уравнения Дифференциальные уравнения y' – y / x математический анализ методы решения интегрирование cos2x tgx общее решение уравнения
2025-09-04 18:15:25
Давайте разберем данное уравнение и найдем его общее решение. У нас есть дифференциальное уравнение первого порядка:
y' - y/x = x / cos²(x)
Это уравнение можно решить методом интегрирующего множителя. Сначала определим интегрирующий множитель.
-
Найдём интегрирующий множитель:
- Общее уравнение имеет вид:
- p(x) = -1/x. Найдем интеграл:
- μ(x) = exp(∫p(x)dx) = exp(∫(-1/x)dx) = exp(-ln|x|) = 1/|x|.
-
Умножим всё уравнение на интегрирующий множитель:
- 1/|x| * (y' - y/x) = 1/|x| * (x / cos²(x)).
- Это упростится до: y'/|x| - y/x² = 1/cos²(x).
-
Теперь запишем уравнение в более удобной форме:
- y' - (y/x) = x/cos²(x).
- Это уравнение можно записать как (y/x)' = x/cos²(x).
-
Теперь интегрируем обе стороны:
- ∫(y/x)' dx = ∫(x/cos²(x)) dx.
- Левая часть интеграла дает: y/x = ∫(x/cos²(x)) dx + C.
-
Решим правую часть:
- Интеграл ∫(x/cos²(x)) dx можно решить методом подстановки или интегрирования по частям.
- Результат интегрирования будет зависеть от того, как вы выберете решать этот интеграл.
После нахождения интеграла, мы можем выразить y:
y = x * (∫(x/cos²(x)) dx + C).
Таким образом, общее решение данного уравнения можно записать как:
y = x(tgx + C)
где C - произвольная постоянная.
Далее, вы можете подставить значение C и получить конкретное решение, если это необходимо.