Верно ли, что интеграл от произведения двух функций всегда равен произведению интегралов от этих функций?

• Да
• Нет

Другие предметы Колледж Интегрирование функций интеграл произведение функций математический анализ колледж свойства интегралов интегрирование теоремы интегрирования Новый

Ответ: Нет, это неверно.

Давайте разберем это утверждение подробнее.

Интеграл от произведения двух функций не равен произведению интегралов этих функций в общем случае. Это можно проиллюстрировать на простом примере:

• Рассмотрим две функции: f(x) = x и g(x) = x.
• Теперь найдем интеграл их произведения: ∫(f(x) * g(x)) dx = ∫(x * x) dx = ∫(x^2) dx.
• Интеграл x^2 равен (1/3)x^3 + C, где C - константа интегрирования.

Теперь найдем произведение интегралов:

• ∫f(x) dx = ∫x dx = (1/2)x^2 + C1.
• ∫g(x) dx = ∫x dx = (1/2)x^2 + C2.
• Теперь перемножим эти интегралы: ((1/2)x^2 + C1) * ((1/2)x^2 + C2).

Как видно, произведение интегралов не равно интегралу от произведения. Это связано с тем, что интеграция и умножение функций - это разные операции, и они не подчиняются простым алгебраическим правилам.

Существует специальный случай, когда это равенство выполняется, но он ограничен определенными условиями, например, когда одна из функций является постоянной. В общем случае, это неверно.

Таким образом, можно сделать вывод, что интеграл от произведения двух функций не равен произведению интегралов от этих функций.