Для вычисления интеграла ∫ dx / (x² + 6x + 8) мы начнем с упрощения выражения в знаменателе.

1. Преобразуем квадратный трехчлен в знаменателе:

• Сначала найдем корни уравнения x² + 6x + 8 = 0. Для этого используем дискриминант D:
• D = b² - 4ac = 6² - 4 * 1 * 8 = 36 - 32 = 4.
• Корни будут равны:
• x1 = (-b + sqrt(D)) / (2a) = (-6 + 2) / 2 = -2;
• x2 = (-b - sqrt(D)) / (2a) = (-6 - 2) / 2 = -4.

Таким образом, мы можем разложить знаменатель:

x² + 6x + 8 = (x + 2)(x + 4).

2. Теперь мы можем использовать метод разложения на простейшие дроби:

1 / ((x + 2)(x + 4)) = A / (x + 2) + B / (x + 4).

Умножим обе стороны на (x + 2)(x + 4):

1 = A(x + 4) + B(x + 2).

3. Подставим значения для нахождения A и B:

• Пусть x = -2: 1 = A(2) + B(0) => A = 1/2.
• Пусть x = -4: 1 = A(0) + B(-2) => B = -1/2.

Таким образом, разложение на простейшие дроби выглядит так:

1 / ((x + 2)(x + 4)) = 1/2 / (x + 2) - 1/2 / (x + 4).

4. Теперь можем интегрировать:

∫ dx / (x² + 6x + 8) = ∫ (1/2 / (x + 2) - 1/2 / (x + 4)) dx.

Это можно записать как:

1/2 ∫ (1 / (x + 2)) dx - 1/2 ∫ (1 / (x + 4)) dx.

5. Интегрируем:

1/2 ln|x + 2| - 1/2 ln|x + 4| + C.

6. Теперь подставим пределы интегрирования от 2 до 81/2:

F(81/2) = 1/2 ln(81/2 + 2) - 1/2 ln(81/2 + 4),

F(2) = 1/2 ln(2 + 2) - 1/2 ln(2 + 4).

7. Вычисляем:

F(81/2) = 1/2 ln(83/2) - 1/2 ln(85/2);

F(2) = 1/2 ln(4) - 1/2 ln(6).

8. Подставляем значения и считаем разность:

F(81/2) - F(2) = (1/2 ln(83/2) - 1/2 ln(85/2)) - (1/2 ln(4) - 1/2 ln(6)).

9. Упрощаем, используя свойства логарифмов:

1/2 (ln(83/2) - ln(85/2) - ln(4) + ln(6)).

10. В итоге получаем:

1/2 ln((83/2) / (85/2 * 4 / 6)) = 1/2 ln((83 * 6) / (85 * 4)).

Таким образом, интеграл вычислен. Результат можно подставить в нужную формулу, если требуется, но итоговое значение не было указано в вашем вопросе. Если вам нужно сопоставить с каким-то значением, уточните, и я помогу с дальнейшими вычислениями.