Чтобы вычислить интеграл ∫ sin²(x) dx на промежутке от 0 до π/4, мы воспользуемся формулой для преобразования синуса в квадрате. Сначала вспомним, что:

sin²(x) = (1 - cos(2x)) / 2.

Теперь подставим это выражение в интеграл:

∫ sin²(x) dx = ∫ (1 - cos(2x)) / 2 dx.

Разделим интеграл на два отдельных интеграла:

∫ sin²(x) dx = 1/2 ∫ 1 dx - 1/2 ∫ cos(2x) dx.

Теперь вычислим каждый из интегралов по отдельности:

1. ∫ 1 dx = x.
2. ∫ cos(2x) dx = (1/2) sin(2x).

Теперь подставим результаты обратно в наш интеграл:

∫ sin²(x) dx = 1/2 * x - 1/2 * (1/2) sin(2x) + C = 1/2 * x - 1/4 sin(2x) + C.

Теперь мы можем найти определенный интеграл от 0 до π/4:

∫₀^π/4 sin²(x) dx = [1/2 * x - 1/4 sin(2x)]₀^π/4.

Теперь подставим границы интегрирования:

При x = π/4:

• 1/2 * (π/4) - 1/4 * sin(2 * (π/4)) = 1/2 * (π/4) - 1/4 * sin(π/2) = 1/2 * (π/4) - 1/4 * 1 = (π/8) - 1/4.

При x = 0:

• 1/2 * 0 - 1/4 * sin(0) = 0 - 0 = 0.

Теперь вычтем значение при x = 0 из значения при x = π/4:

∫₀^π/4 sin²(x) dx = (π/8 - 1/4) - 0 = π/8 - 1/4.

Таким образом, окончательный ответ:

∫₀^π/4 sin²(x) dx = π/8 - 1/4.