Вычислите определенный интеграл ∫ √(x)dx, x=1..4

Другие предметы Колледж Определенный интеграл математический анализ колледж определенный интеграл вычисление интеграла интеграл √(x) интеграл от корня математика колледжа задачи по интегралам Новый

Для вычисления определенного интеграла от функции √(x) на интервале от 1 до 4, следуем следующим шагам:

1. Найдите неопределенный интеграл функции:

   Мы ищем интеграл ∫ √(x) dx. Для этого сначала перепишем √(x) в более удобной форме:

   √(x) = x^(1/2).

   Теперь применим правило интегрирования для степенной функции:

   ∫ x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C, где n ≠ -1.

   В нашем случае n = 1/2, поэтому:

   ∫ x^(1/2) dx = (x^(1/2 + 1))/(1/2 + 1) + C = (x^(3/2))/(3/2) + C = (2/3) * x^(3/2) + C.

2. Запишите определенный интеграл:

   Теперь мы можем записать определенный интеграл от 1 до 4:

   ∫(от 1 до 4) √(x) dx = [(2/3) * x^(3/2)] (от 1 до 4).

3. Подставьте пределы интегрирования:

   Теперь подставим верхний и нижний пределы:

   Сначала подставим верхний предел x = 4:

   (2/3) * (4^(3/2)) = (2/3) * (4 * √(4)) = (2/3) * (4 * 2) = (2/3) * 8 = 16/3.

   Теперь подставим нижний предел x = 1:

   (2/3) * (1^(3/2)) = (2/3) * 1 = 2/3.

4. Вычислите разность:

   Теперь вычтем значение нижнего предела из значения верхнего предела:

   ∫(от 1 до 4) √(x) dx = (16/3) - (2/3) = (16 - 2)/3 = 14/3.

Ответ: Значение определенного интеграла ∫ √(x) dx на интервале от 1 до 4 равно 14/3.