Чтобы найти частную производную функции z(x, y) = 5x⁴y² по переменной y, мы будем дифференцировать функцию z относительно y, рассматривая x как константу. Давайте разберем шаги:

1. Запишите функцию: z(x, y) = 5x⁴y².
2. Определите, что является постоянной: Поскольку мы находим частную производную по y, x будет считаться постоянной.
3. Примените правило дифференцирования: Нам нужно продифференцировать 5x⁴y² по y.
   • Постоянный множитель 5x⁴ остается неизменным.
   • Продифференцируем y² по y: производная y² по y равна 2y.
4. Запишите результат: Умножаем постоянный множитель на производную: 5x⁴ * 2y = 10x⁴y.

Таким образом, частная производная функции z(x, y) = 5x⁴y² по переменной y равна 10x⁴y.