Чтобы определить, сколько решений имеет данная система уравнений, нам нужно проанализировать ее совместность и количество независимых уравнений. Рассмотрим систему:

• x₁ + 2 ⋅ x₂ − x₃ = 1
• −3 ⋅ x₁ + x₂ + 2 ⋅ x₃ = 0
• x₁ + 4 ⋅ x₂ + 3 ⋅ x₃ = 2

Первым шагом будет запись системы в матричном виде и нахождение её ранга. Для этого мы составим расширенную матрицу системы:

Расширенная матрица:

• [1 2 -1 | 1]
• [-3 1 2 | 0]
• [1 4 3 | 2]

Теперь мы применим метод Гаусса для приведения матрицы к ступенчатому виду:

1. Первое действие: прибавим 3 раза первую строку ко второй строке:
• [-3 + 3*1, 1 + 3*2, 2 + 3*(-1) | 0 + 3*1] = [0, 7, -1 | 3]
2. Второе действие: вычтем первую строку из третьей строки:
• [1 - 1, 4 - 2, 3 + 1 | 2 - 1] = [0, 2, 4 | 1]

Теперь у нас есть следующая матрица:

• [1 2 -1 | 1]
• [0 7 -1 | 3]
• [0 2 4 | 1]

Продолжим преобразования. Мы можем упростить третью строку, вычитая 2/7 второй строки:

1. Третья строка: [0, 2, 4 | 1] - (2/7) * [0, 7, -1 | 3]

После выполнения всех преобразований мы получим матрицу, которая позволит нам определить ранг:

Если ранг матрицы коэффициентов равен рангу расширенной матрицы и меньше количества переменных, то система имеет бесконечное множество решений.

Если ранг матрицы коэффициентов равен рангу расширенной матрицы и равен количеству переменных, то система имеет единственное решение.

Если ранг матрицы коэффициентов меньше ранга расширенной матрицы, то система несовместна и решений не имеет.

После завершения всех преобразований мы можем прийти к выводу о том, что:

• Если система имеет 1 решение, значит, она совместна и ранги равны.
• Если система имеет 3 решения, это не является верным, так как количество решений не определяется только количеством переменных.
• Если система имеет бесконечное число решений, это происходит в случае несовместности.

В итоге, для данной системы уравнений, мы должны провести окончательные вычисления, чтобы определить ранги. Если ранг матрицы коэффициентов равен рангу расширенной матрицы и меньше числа переменных, то система имеет бесконечное число решений.

Таким образом, для данной системы уравнений мы можем сказать, что: