Метод Гаусса, или метод исключения Гаусса, применяется для решения систем линейных уравнений. Он позволяет преобразовать систему уравнений в ступенчатую или треугольную форму, чтобы затем найти решение. Давайте рассмотрим шаги решения данной системы уравнений:

Сначала перепишем систему уравнений в более удобной форме:

1. x1 + 2x2 = 4
2. -3x1 + x2 - x3 = -2
3. x1 + 7x2 = 2

Теперь начнем применять метод Гаусса:

1. Выберите ведущий элемент: Обычно выбирают первый элемент первой строки (x1 в первом уравнении). В данном случае это x1 в первом уравнении.
2. Приведите ведущий элемент к единице: В нашем случае ведущий элемент уже равен единице.
3. Обнулите элементы ниже ведущего: Чтобы обнулить элементы под ведущим элементом (x1) в первом столбце, используем первое уравнение для модификации второго и третьего уравнений. Для второго уравнения:
   • Умножьте первое уравнение на 3: 3(x1 + 2x2 = 4) дает 3x1 + 6x2 = 12.
   • Сложите его со вторым уравнением: (-3x1 + x2 - x3 = -2) + (3x1 + 6x2 = 12) дает 7x2 - x3 = 10.
4. Для третьего уравнения:
   • Вычтите первое уравнение из третьего: (x1 + 7x2 = 2) - (x1 + 2x2 = 4) дает 5x2 = -2.

Теперь система уравнений выглядит так:

1. x1 + 2x2 = 4
2. 7x2 - x3 = 10
3. 5x2 = -2

Продолжаем метод Гаусса:

1. Приведите второй ведущий элемент к единице: Второй ведущий элемент — это 5x2 в третьем уравнении. Разделим третье уравнение на 5: x2 = -2/5.
2. Обнулите элементы выше второго ведущего элемента: Используем третье уравнение, чтобы модифицировать первое и второе уравнения. Подставляем x2 = -2/5 в первое уравнение:
   • x1 + 2(-2/5) = 4
   • x1 - 4/5 = 4
   • x1 = 4 + 4/5 = 20/5 + 4/5 = 24/5
3. Подставляем x2 = -2/5 во второе уравнение:
   • 7(-2/5) - x3 = 10
   • -14/5 - x3 = 10
   • -x3 = 10 + 14/5
   • -x3 = 50/5 + 14/5 = 64/5
   • x3 = -64/5

Теперь у нас есть решения для всех переменных:

• x1 = 24/5
• x2 = -2/5
• x3 = -64/5

Таким образом, мы решили систему уравнений методом Гаусса.