Дана система уравнений {x₁ + 2x₂ + 3x₃ = 1, 2x₁ − 1x₂ + 2x₃ = 6, x₁ + x₂ + 5x₃ = −1.
Укажите ступенчатую матрицу, полученную при решении данной системы методом Гаусса.

• ((1, 0, 0, 4), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, –1)).
• ((1, 0, 0, –4), (0, 1, 1, 0), (0, 0, 1, –1)).
• ((1, 2, 3, 4), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1)).

Другие предметы Университет Системы линейных уравнений система уравнений метод Гаусса ступенчатая матрица математика университет линейные уравнения решение системы уравнений матричная форма математический анализ высшая математика Новый

Чтобы решить систему уравнений методом Гаусса и получить ступенчатую матрицу, давайте сначала запишем систему уравнений в виде расширенной матрицы:

Система уравнений:

• x₁ + 2x₂ + 3x₃ = 1
• 2x₁ - x₂ + 2x₃ = 6
• x₁ + x₂ + 5x₃ = -1

Расширенная матрица будет выглядеть так:

[ 1 2 3 | 1 ]

[ 2 -1 2 | 6 ]

[ 1 1 5 | -1 ]

Теперь начнем применять метод Гаусса:

1. Первый шаг: преобразуем вторую строку. Мы можем вычесть 2 умноженное на первую строку из второй строки:
• 2 - 2*1 = 0
• -1 - 2*2 = -5
• 2 - 2*3 = -4
• 6 - 2*1 = 4

Теперь вторая строка будет:

[ 0 -5 -4 | 4 ]

2. Теперь преобразуем третью строку. Вычтем первую строку из третьей строки:
• 1 - 1 = 0
• 1 - 2 = -1
• 5 - 3 = 2
• -1 - 1 = -2

Теперь третья строка будет:

[ 0 -1 2 | -2 ]

После этих операций мы имеем следующую матрицу:

[ 1 2 3 | 1 ]

[ 0 -5 -4 | 4 ]

[ 0 -1 2 | -2 ]

3. Второй шаг: теперь мы можем сделать так, чтобы второй элемент второй строки стал равным 1. Для этого разделим вторую строку на -5:

[ 0 1 0.8 | -0.8 ]

4. Третий шаг: мы можем убрать элемент во втором столбце первой и третьей строки. Для этого произведем следующие операции:
• Из первой строки вычтем 2 умноженное на вторую строку:

[ 1 0 1.4 | 2.6 ]

• Из третьей строки вычтем -1 умноженное на вторую строку:

[ 0 0 2.8 | -2.8 ]

Получаем:

[ 1 0 1.4 | 2.6 ]

[ 0 1 0.8 | -0.8 ]

[ 0 0 2.8 | -2.8 ]

5. Последний шаг: делим третью строку на 2.8:

[ 0 0 1 | -1 ]

Теперь итоговая матрица будет:

[ 1 0 0 | 4 ]

[ 0 1 0 | 0 ]

[ 0 0 1 | -1 ]

Таким образом, ступенчатая матрица, полученная при решении данной системы методом Гаусса, будет:

[ 1 0 0 | 4 ]

[ 0 1 0 | 0 ]

[ 0 0 1 | -1 ]

Ответ: (1, 0, 0, 4), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, -1).

1 2 3 4 5