Дана задача на вычисление вероятностей событий: «В семье пять детей. Найти вероятность того, что среди этих детей: а) ровно два мальчика; б) не более двух мальчиков; в) более двух мальчиков; г) не менее двух и не более трех мальчиков. Вероятность рождения мальчика принять равной 0,51». Результат вычислений имеет следующий вид:
Выберите один ответ:

1. а) 0,31; б) 0,485; в) 0,515; г) 0,62
2. а) 0,62; б) 0,485; в) 0,374; г) 0,62
3. а) 0,25; б) 0,552; в) 0,416; г) 0,65
4. a) 0,55; 6) 0,388; B) 0,489; r) 0,72

Другие предметы Университет Комбинаторная вероятность вероятность событий семья пять детей мальчики и девочки теорема о вероятностях математическая статистика задачи по вероятностям вычисление вероятностей рождение мальчика комбинаторика распределение вероятностей Новый

Для решения данной задачи мы будем использовать биномиальное распределение, так как у нас есть фиксированное количество испытаний (рождение детей), два возможных исхода (мальчик или девочка) и известная вероятность рождения мальчика.

Обозначим:

• n = 5 (количество детей)
• p = 0.51 (вероятность рождения мальчика)
• q = 1 - p = 0.49 (вероятность рождения девочки)

Формула для вычисления вероятности получения k успехов (в нашем случае - рождения мальчиков) в n испытаниях выглядит так:

P(X = k) = C(n, k) * p^k * q^(n-k),

где C(n, k) - биномиальный коэффициент, который вычисляется как:

C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)

Теперь решим каждую из частей задачи:

1. Вероятность того, что ровно два мальчика:

Для k = 2:

• C(5, 2) = 5! / (2! * 3!) = 10
• P(X = 2) = 10 * (0.51^2) * (0.49^3)

Теперь подставим значения:

P(X = 2) = 10 * 0.2601 * 0.117649 = 0.306

2. Вероятность того, что не более двух мальчиков:

Это сумма вероятностей для 0, 1 и 2 мальчиков:

• P(X = 0) = C(5, 0) * (0.51^0) * (0.49^5) = 1 * 1 * 0.049
• P(X = 1) = C(5, 1) * (0.51^1) * (0.49^4) = 5 * 0.51 * 0.060
• P(X = 2) уже посчитано.

Считаем:

P(X = 0) = 0.049

P(X = 1) = 5 * 0.51 * 0.060 = 0.153

P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 0.049 + 0.153 + 0.306 = 0.508

3. Вероятность того, что более двух мальчиков:

Это 1 минус вероятность того, что не более двух мальчиков:

P(X > 2) = 1 - P(X ≤ 2) = 1 - 0.508 = 0.492

4. Вероятность того, что не менее двух и не более трех мальчиков:

Это сумма вероятностей для 2 и 3 мальчиков:

P(X = 3) = C(5, 3) * (0.51^3) * (0.49^2) = 10 * 0.132651 * 0.2401 = 0.318

P(2 ≤ X ≤ 3) = P(X = 2) + P(X = 3) = 0.306 + 0.318 = 0.624

Теперь подводим итог:

• а) Вероятность ровно двух мальчиков: 0.306
• б) Вероятность не более двух мальчиков: 0.508
• в) Вероятность более двух мальчиков: 0.492
• г) Вероятность не менее двух и не более трех мальчиков: 0.624

На основе расчетов, правильные ответы:

• а) 0.306
• б) 0.508
• в) 0.492
• г) 0.624