Чтобы установить соответствие между характеристиками и их значениями для данной системы уравнений, сначала запишем систему в виде матрицы. Система уравнений выглядит следующим образом:

• 3x₁ − x₂ = 1
• 2x₁ + x₂ = 5
• x₁ − 2x₂ = 0

Теперь запишем основную и расширенную матрицы для этой системы.

1. Основная матрица (матрица коэффициентов):

• [3, -1]
• [2, 1]
• [1, -2]

2. Расширенная матрица (матрица коэффициентов и свободных членов):

• [3, -1 | 1]
• [2, 1 | 5]
• [1, -2 | 0]

Теперь найдем ранг основной и расширенной матриц.

Шаг 1: Нахождение ранга основной матрицы

Для нахождения ранга основной матрицы, мы можем привести ее к ступенчатому виду. Начнем с основной матрицы:

• [3, -1]
• [2, 1]
• [1, -2]

Сначала делим первую строку на 3:

• [1, -1/3]
• [2, 1]
• [1, -2]

Теперь вычтем 2 * первую строку из второй и первую строку из третьей:

• [1, -1/3]
• [0, 5/3]
• [0, -5/3]

Теперь видно, что в основной матрице есть 2 ненулевые строки, следовательно, ранг основной матрицы равен 2.

Шаг 2: Нахождение ранга расширенной матрицы

Теперь найдем ранг расширенной матрицы:

• [3, -1 | 1]
• [2, 1 | 5]
• [1, -2 | 0]

Применим те же операции, что и для основной матрицы:

• [1, -1/3 | 1/3]
• [0, 5/3 | 11/3]
• [0, -5/3 | -1/3]

В расширенной матрице также будет 2 ненулевые строки, следовательно, ранг расширенной матрицы равен 2.

Шаг 3: Определение количества решений системы

Теперь мы можем определить количество решений. Для этого сравним ранги:

• Ранг основной матрицы = 2
• Ранг расширенной матрицы = 2
• Количество переменных = 2

Так как ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы и равен количеству переменных, система имеет единственное решение.

Итак, результаты:

• A. Ранг основной матрицы = 2
• B. Ранг расширенной матрицы = 2
• C. Количество решений системы = 1 (единственное решение)