Давайте рассмотрим, что такое вектор в контексте линейной алгебры и как мы можем представить его в виде столбца координат. Вектор в пространстве R^n можно представить как набор координат, например, вектор v в R^3 можно записать как:

v = (v1, v2, v3)

Теперь мы можем представить этот вектор в виде столбца:

v = | v1 |

| v2 |

| v3 |

Теперь давайте рассмотрим операции сложения и умножения на скаляр.

1. Сложение векторов

Рассмотрим два вектора u и v в R^n:

u = (u1, u2, ..., un)

v = (v1, v2, ..., vn)

Сложение этих векторов определяется как:

u + v = (u1 + v1, u2 + v2, ..., un + vn)

Теперь, если мы представим эти векторы в виде столбцов, то:

u = | u1 | v = | v1 |

| u2 | | v2 |

| ... | | ... |

| un | | vn |

Сложение векторов в виде столбцов также будет выглядеть следующим образом:

u + v = | u1 + v1 |

| u2 + v2 |

| ... |

| un + vn |

Таким образом, мы видим, что операция сложения векторов соответствует сложению соответствующих координат в столбцах.

2. Умножение вектора на скаляр

Теперь рассмотрим умножение вектора на скаляр. Пусть k - это скаляр, а v - вектор:

v = (v1, v2, ..., vn)

Умножение вектора на скаляр определяется как:

k * v = (k * v1, k * v2, ..., k * vn)

Если мы представим вектор v в виде столбца, то:

v = | v1 |

| v2 |

| ... |

| vn |

Тогда умножение вектора на скаляр также будет выглядеть следующим образом:

k * v = | k * v1 |

| k * v2 |

| ... |

| k * vn |

Таким образом, мы видим, что операция умножения вектора на скаляр соответствует умножению каждой координаты в столбце на этот скаляр.

Вывод:

Операции сложения и умножения векторов на скаляр действительно приводят к аналогичным операциям над их координатами, представленными в виде столбцов. Это позволяет нам использовать удобные методы работы с матрицами и векторами в линейной алгебре.