Свободные векторы — это векторы, которые не имеют фиксированной точки начала и конца. Они могут быть перемещены параллельно, не изменяя своих свойств. Вектор описывается направлением и длиной, но не зависит от положения в пространстве. Рассмотрим основные операции над свободными векторами: сложение и умножение на число.

1. Сложение векторов

Сложение свободных векторов осуществляется по правилу параллелограмма или треугольника. Если у нас есть два вектора A и B, то их сумма C = A + B определяется следующим образом:

1. Рисуем вектор A.
2. От конца вектора A проводим вектор B, сохраняя его направление и длину.
3. Вектор C (результирующий) будет направлен от начала вектора A до конца вектора B.

В координатной форме, если вектор A имеет координаты (Ax, Ay), а вектор B — (Bx, By), то сумма векторов будет:

Cx = Ax + Bx

Cy = Ay + By

2. Умножение вектора на число

Умножение вектора на число (скаляр) изменяет его длину, но не направление (если скаляр положительный). Если у нас есть вектор A и скаляр k, то результатом умножения будет вектор D = kA. Рассмотрим два случая:

• Если k > 0, то вектор D будет иметь такое же направление, как и вектор A, но его длина изменится на |k| раз.
• Если k < 0, то вектор D будет направлен противоположно вектору A, и его длина также изменится на |k| раз.

В координатной форме, если вектор A имеет координаты (Ax, Ay), то вектор D будет:

Dx = k * Ax

Dy = k * Ay

Таким образом, операции сложения и умножения на число позволяют работать со свободными векторами, изменяя их длину и направление, а также комбинируя их для получения новых векторов.