Доказать первое достаточное условие экстремума функции.

Другие предметы Университет Экстремумы функций нескольких переменных достаточное условие экстремума математический анализ экстремум функции доказательство условия экстремума университетский курс математики Новый

Чтобы доказать первое достаточное условие экстремума функции, давайте сначала определим, что такое экстремум функции. Экстремум функции - это точка, в которой функция достигает локального максимума или минимума.

Рассмотрим функцию f(x), определенную в некоторой окрестности точки x0. Первое достаточное условие экстремума гласит, что если в точке x0 функция f(x) имеет локальный экстремум, и если f'(x0) существует, то f'(x0) = 0.

Теперь перейдем к доказательству:

1. Предположение о локальном экстремуме: Предположим, что функция f(x) имеет локальный максимум в точке x0. Это означает, что существует окрестность точки x0, в которой для всех x, принадлежащих этой окрестности, выполняется неравенство f(x) ≤ f(x0).
2. Определение производной: Производная функции f в точке x0, обозначаемая f'(x0), определяет скорость изменения функции в этой точке. Если f'(x0) > 0, то функция возрастает в окрестности x0, а если f'(x0) < 0, то функция убывает.
3. Противоречие: Если f'(x0) > 0, это означает, что функция увеличивается в точке x0, что противоречит нашему предположению о том, что x0 - это точка локального максимума. Аналогично, если f'(x0) < 0, функция будет убывать, что также противоречит предположению о локальном максимуме.
4. Вывод: Таким образом, единственный случай, который не приводит к противоречию, это случай, когда f'(x0) = 0. Это и есть первое достаточное условие для локального экстремума.

Аналогично, если мы рассматриваем локальный минимум, мы можем провести аналогичные рассуждения, и также придем к выводу, что f'(x0) = 0.

Таким образом, мы доказали первое достаточное условие экстремума: если функция f(x) имеет локальный экстремум в точке x0 и f'(x0) существует, то f'(x0) = 0.