Верно ли, что если функция двух переменных дифференцируема в данный точке, то у неё есть экстремум в этой точке?

• да
• нет

Другие предметы Университет Экстремумы функций нескольких переменных математический анализ функция двух переменных дифференцируемость экстремум условия экстремума университетские курсы анализ функций критические точки Новый

Давайте разберемся с этим вопросом. Первое, что нам нужно понять, это определение дифференцируемости функции двух переменных и понятие экстремума.

1. Дифференцируемость функции: Функция двух переменных f(x, y) называется дифференцируемой в точке (x0, y0), если она имеет частные производные в этой точке и можно аппроксимировать её значение с помощью линейной функции. Это означает, что существует такая линейная функция, которая хорошо приближает поведение функции в окрестности данной точки.

2. Экстремум функции: Экстремум функции в точке — это максимум или минимум функции в этой точке. Для нахождения экстремумов часто используют условия первого и второго порядка:

• Условие первого порядка: частные производные функции в точке экстремума должны равняться нулю (f_x(x0, y0) = 0 и f_y(x0, y0) = 0).
• Условие второго порядка: для определения типа экстремума (максимум, минимум или седловая точка) используются вторые производные и определитель Гессиана.

Теперь к вашему вопросу: Верно ли, что если функция двух переменных дифференцируема в данной точке, то у неё есть экстремум в этой точке?

Ответ: Нет, это неверно. Дифференцируемость функции в точке не гарантирует наличие экстремума в этой точке.

Пример: Рассмотрим функцию f(x, y) = x^2 + y^2. Эта функция дифференцируема в любой точке, включая (0, 0). Однако, в данной точке (0, 0) у нас есть минимум, но это не всегда так. Теперь рассмотрим функцию f(x, y) = x^2 - y^2. Эта функция также дифференцируема в точке (0, 0), но в этой точке у нас нет экстремума, так как это седловая точка.

Таким образом, дифференцируемость функции в точке не является достаточным условием для наличия экстремума в этой точке. Для нахождения экстремумов необходимо дополнительно проверять условия первого и второго порядка.