Вопрос о том, имеет ли функция экстремум в точке, если все её частные производные равны нулю, требует более глубокого анализа. Давайте разберёмся, как это работает.

Когда мы говорим о функции нескольких переменных, частные производные показывают, как функция изменяется по каждой из переменных. Если все частные производные функции в точке равны нулю, это говорит нам о том, что в этой точке функция имеет стационарную точку. Однако это не обязательно означает, что в этой точке функция имеет экстремум (минимум или максимум). Рассмотрим это подробнее:

1. Стационарная точка: Если все частные производные функции в точке равны нулю, то эта точка называется стационарной. Это может означать, что в этой точке функция имеет экстремум, но также может означать, что функция имеет седловую точку.
2. Экстремум: Для того чтобы определить, является ли стационарная точка экстремумом, необходимо провести дополнительный анализ. Обычно для этого используют второй дифференциал или матрицу Гессе (матрицу вторых частных производных).
   • Если матрица Гессе положительно определена в этой точке, то функция имеет локальный минимум.
   • Если матрица Гессе отрицательно определена, то функция имеет локальный максимум.
   • Если матрица Гессе не определена, то в точке может быть седловая точка.
3. Седловая точка: Это точка, в которой функция не достигает ни минимума, ни максимума. Часто она характеризуется тем, что в одном направлении функция увеличивается, а в другом уменьшается.

Таким образом, если в заданной точке все частные производные равны нулю, это не гарантирует наличие экстремума. Необходимо провести дополнительный анализ, чтобы точно определить характер этой точки.