Если функция f(x, y) в точке (x₀, y₀) имеет экстремум, то в этой точке либо обе ее частные производные … порядка равны нулю f'x(x₀, y₀) = 0, f'y(x₀, y₀) = 0, либо хотя бы одна из них не существует

Другие предметы Университет Экстремумы функций нескольких переменных экстремум функции частные производные высшая математика университет точка экстремума условия экстремума математика для студентов Новый

Вам нужно понять, что происходит с частными производными функции двух переменных f(x, y) в точке (x₀, y₀), когда эта функция имеет экстремум. Давайте разберем это шаг за шагом.

1. Определение экстремума:

• Экстремум функции - это точка, в которой функция достигает локального максимума или минимума.
• Для функции двух переменных это значит, что функция не увеличивается и не уменьшается в окрестности точки (x₀, y₀).

2. Часть производные:

• Частные производные f'x(x, y) и f'y(x, y) показывают, как функция изменяется по отношению к x и y соответственно.
• Если обе частные производные равны нулю в точке (x₀, y₀), это означает, что в этой точке функция не меняется ни по x, ни по y.

3. Условия для экстремума:

• Если f'x(x₀, y₀) = 0 и f'y(x₀, y₀) = 0, то это условие необходимо для наличия экстремума.
• Однако, если хотя бы одна из частных производных не существует в точке (x₀, y₀), это также может указывать на наличие экстремума, хотя и не обязательно.

4. Примеры:

• Например, функция f(x, y) = x² + y² имеет минимум в точке (0, 0), где обе частные производные равны нулю.
• В то же время, функция f(x, y) = x*y/(x² + y²) имеет особую точку в (0, 0), где частные производные не существуют, но эта точка также может быть интересной с точки зрения экстремума.

Таким образом, если функция f(x, y) имеет экстремум в точке (x₀, y₀), то выполняется одно из двух условий: либо обе частные производные равны нулю, либо хотя бы одна из них не существует. Это важный аспект при анализе функций нескольких переменных.