Чтобы найти экстремум функции z(x, y) = x³ + y³ - 9xy, необходимо выполнить несколько шагов. Давайте разберем процесс поэтапно.

Сначала найдем частные производные функции z по переменным x и y:

• Частная производная по x: z_x = ∂z/∂x = 3x² - 9y
• Частная производная по y: z_y = ∂z/∂y = 3y² - 9x

Теперь мы приравняем каждую из частных производных к нулю и решим полученную систему уравнений:

• 3x² - 9y = 0
• 3y² - 9x = 0

Упростим каждое уравнение:

• x² = 3y
• y² = 3x

Теперь подставим выражение для y из первого уравнения во второе:

• y = x²/3
• (x²/3)² = 3x

Упростим это уравнение:

• x⁴/9 = 3x
• x⁴ - 27x = 0
• x(x³ - 27) = 0

Отсюда получаем x = 0 или x³ - 27 = 0, что дает x = 3.

Теперь подставим найденные значения x обратно, чтобы найти соответствующие значения y:

• Если x = 0, то y = 0.
• Если x = 3, то y = 3²/3 = 3.

Таким образом, у нас есть две критические точки: (0, 0) и (3, 3).

Теперь нам нужно определить, являются ли эти точки минимумами, максимумами или седловыми точками. Для этого используем второй производный тест. Сначала найдем вторые частные производные:

• z_xx = ∂²z/∂x² = 6x
• z_yy = ∂²z/∂y² = 6y
• z_xy = ∂²z/∂x∂y = -9

Теперь вычислим дискриминант D = z_xx * z_yy - (z_xy)².

• z_xx = 6*0 = 0
• z_yy = 6*0 = 0
• D = 0 * 0 - (-9)² = -81

Так как D < 0, то (0, 0) является седловой точкой.

• z_xx = 6*3 = 18
• z_yy = 6*3 = 18
• D = 18 * 18 - (-9)² = 324 - 81 = 243

Так как D > 0 и z_xx > 0, то (3, 3) является локальным минимумом.

Экстремум функции z(x, y) = x³ + y³ - 9xy составляет локальный минимум в точке (3, 3).