Функция называется вогнутой на промежутке [a;b], если выполняются определенные условия относительно ее производных. Давайте разберем каждое из этих условий.

1. Первая производная функции отрицательная:

   Если первая производная функции f'(x) < 0 на промежутке [a;b], это означает, что функция убывает на этом интервале. Однако это условие не является обязательным для определения вогнутости функции. Вогнутость не зависит от того, убывает функция или возрастает.

2. Вторая производная функции отрицательная:

   Это ключевое условие для вогнутости. Если вторая производная f''(x) < 0 на промежутке [a;b], то функция вогнута. Это означает, что график функции "согнут" вниз, и касательные линии к графику находятся выше самого графика.

3. Вторая производная функции равна нулю:

   Если вторая производная f''(x) = 0 на некотором участке, это может указывать на точку перегиба, но не обязательно на вогнутость. В этом случае необходимо дополнительно проверять поведение функции на границах и в окрестности этой точки.

4. Вторая производная функции положительная:

   Если вторая производная f''(x) > 0, это указывает на выпуклость функции, а не на вогнутость. Таким образом, это условие не подходит для определения вогнутости.

Таким образом, для того чтобы функция была вогнутой на промежутке [a;b], необходимо, чтобы вторая производная функции была отрицательной (f''(x) < 0) на этом интервале. Первую производную можно не учитывать, так как вогнутость не зависит от того, убывает функция или возрастает.