Какие из следующих равенств справедливы для всех множеств A, B и C

• (A ∩ B) ∪ C = A ∩ (B ∪ C)
• (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)
• (A B) ∪ B = A
• (A ∩ B) C = A ∩ (B C)

Другие предметы Университет Теория множеств дискретная математика Множества равенства пересечение объединение университет логика теоремы свойства примеры Новый

Чтобы ответить на вопрос, давайте рассмотрим каждое из предложенных равенств и проверим, справедливы ли они для всех множеств A, B и C. Мы будем использовать известные свойства операций над множествами, такие как законы дистрибутивности, ассоциативности и коммутативности.

1. (A ∩ B) ∪ C = A ∩ (B ∪ C)

   Это равенство не справедливо для всех множеств. Например, пусть A = {1}, B = {2}, C = {3}. Тогда:

   • (A ∩ B) = {} (пустое множество)
   • (A ∩ B) ∪ C = {} ∪ {3} = {3}
   • B ∪ C = {2, 3}
   • A ∩ (B ∪ C) = {1} ∩ {2, 3} = {} (пустое множество)

   Таким образом, {3} ≠ {}, значит равенство не выполняется.

2. (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)

   Это равенство справедливо и является одним из законов дистрибутивности для множеств. Чтобы убедиться в этом, можно воспользоваться свойствами множеств:

   • Левая часть: (A ∪ B) ∩ C содержит элементы, которые находятся в C и в хотя бы одном из множеств A или B.
   • Правая часть: (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) содержит элементы, которые находятся в C и в A, или находятся в C и в B.

   Таким образом, обе стороны равенства содержат одни и те же элементы, и равенство справедливо.

3. (A B) ∪ B = A

   Это равенство записано некорректно, так как между A и B отсутствует операция. Предположим, что имеется в виду (A \ B) ∪ B = A, что является верным равенством. Это равенство говорит о том, что если мы возьмем элементы, которые есть в B, и добавим к ним элементы, которые есть в A, но не в B, мы получим все элементы из A.

4. (A ∩ B) C = A ∩ (B C)

   Это равенство также не имеет смысла, так как отсутствует операция между (A ∩ B) и C. Если предположить, что имеется в виду (A ∩ B) \ C = A ∩ (B \ C), то это равенство не является истинным. Например, пусть A = {1, 2}, B = {1, 3}, C = {2}. Тогда:

   • A ∩ B = {1}
   • (A ∩ B) \ C = {1} \ {2} = {1}
   • B \ C = {1, 3} \ {2} = {1, 3}
   • A ∩ (B \ C) = {1, 2} ∩ {1, 3} = {1}

   В данном случае равенство выполняется, но не всегда будет справедливо для других множеств.

Итак, из предложенных равенств только второе равенство (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) справедливо для всех множеств A, B и C.