Методом бисекции с заданной точностью ε найти корень уравнения на заданном интервале.
x3 – 11x + 2 = 0, (0,1), ε = 0.05

• 0.0017
• 0.00011
• 0.18
• 0.0011

Другие предметы Университет Методы численного решения уравнений вычислительные методы метод бисекции корень уравнения заданная точность интервал ε x3 – 11x + 2 = 0 Новый

Для нахождения корня уравнения x³ - 11x + 2 = 0 методом бисекции на заданном интервале (0, 1) с заданной точностью ε, следуем следующему алгоритму:

Шаг 1: Проверка значений функции на концах интервала

• Находим значение функции в точках a = 0 и b = 1:
• f(0) = 0³ - 11*0 + 2 = 2
• f(1) = 1³ - 11*1 + 2 = 1 - 11 + 2 = -8

Так как f(0) > 0 и f(1) < 0, это значит, что в данном интервале (0, 1) есть корень уравнения по теореме Больцано.

Шаг 2: Применение метода бисекции

Теперь будем итеративно делить интервал пополам до тех пор, пока длина интервала не станет меньше ε.

Итерация 1:

• Находим середину интервала: c = (0 + 1) / 2 = 0.5
• Вычисляем f(0.5): f(0.5) = 0.5³ - 11*0.5 + 2 = 0.125 - 5.5 + 2 = -3.375
• Так как f(0) > 0 и f(0.5) < 0, новый интервал: (0, 0.5)

Итерация 2:

• c = (0 + 0.5) / 2 = 0.25
• f(0.25) = 0.25³ - 11*0.25 + 2 = 0.015625 - 2.75 + 2 = -0.734375
• Так как f(0) > 0 и f(0.25) < 0, новый интервал: (0, 0.25)

Итерация 3:

• c = (0 + 0.25) / 2 = 0.125
• f(0.125) = 0.125³ - 11*0.125 + 2 = 0.001953125 - 1.375 + 2 = 0.626953125
• Так как f(0.125) > 0 и f(0.25) < 0, новый интервал: (0.125, 0.25)

Итерация 4:

• c = (0.125 + 0.25) / 2 = 0.1875
• f(0.1875) = 0.1875³ - 11*0.1875 + 2 = 0.006591796875 - 2.0625 + 2 = -0.055908203125
• Так как f(0.125) > 0 и f(0.1875) < 0, новый интервал: (0.125, 0.1875)

Итерация 5:

• c = (0.125 + 0.1875) / 2 = 0.15625
• f(0.15625) = 0.15625³ - 11*0.15625 + 2 = 0.003814697265625 - 1.71875 + 2 = 0.285064697265625
• Так как f(0.15625) > 0 и f(0.1875) < 0, новый интервал: (0.15625, 0.1875)

Продолжаем итерации до тех пор, пока длина интервала не станет меньше ε = 0.05:

• Итерации будут продолжаться, пока (b - a) / 2 > ε.
• При каждой итерации мы будем сокращать интервал и находить новое значение c.

В конце, когда мы достигнем заданной точности, значение c будет являться приближением корня уравнения x³ - 11x + 2 = 0.

Таким образом, метод бисекции позволяет последовательно сужать интервал, в котором находится корень, до достижения необходимой точности. В результате мы получим значение корня с заданной точностью ε.