Для нахождения корня уравнения методом Ньютона, нам необходимо следовать нескольким шагам. Давайте разберем процесс подробно.

Сначала запишем уравнение, которое мы хотим решить:

f(x) = 0.1 * ln(2x) - 2 + x

Теперь найдем производную этой функции:

f'(x) = 0.1 * (1/(2x) * 2) + 1 = 0.1/x + 1

Метод Ньютона требует начального приближения. Давайте выберем x0 = 1. Это значение выбрано произвольно, но оно должно быть достаточно близким к искомому корню.

Формула метода Ньютона выглядит следующим образом:

x_{n+1} = x_n - f(x_n) / f'(x_n)

Теперь будем итеративно применять эту формулу, пока не достигнем нужной точности.

1. Первая итерация:
   • Подставляем x0 = 1 в f(x) и f'(x):
   • f(1) = 0.1 * ln(2*1) - 2 + 1 = 0.1 * ln(2) - 1 ≈ -0.3010
   • f'(1) = 0.1/1 + 1 = 1.1
   • Теперь вычисляем x1:
   • x1 = 1 - (-0.3010) / 1.1 ≈ 1.273
2. Вторая итерация:
   • Подставляем x1 в f(x) и f'(x):
   • f(1.273) ≈ 0.1 * ln(2*1.273) - 2 + 1.273 ≈ -0.0515
   • f'(1.273) ≈ 0.1/1.273 + 1 ≈ 1.0785
   • Теперь вычисляем x2:
   • x2 = 1.273 - (-0.0515) / 1.0785 ≈ 1.290
3. Третья итерация:
   • Подставляем x2 в f(x) и f'(x):
   • f(1.290) ≈ 0.1 * ln(2*1.290) - 2 + 1.290 ≈ -0.0005
   • f'(1.290) ≈ 0.1/1.290 + 1 ≈ 1.0775
   • Теперь вычисляем x3:
   • x3 = 1.290 - (-0.0005) / 1.0775 ≈ 1.2905

Теперь проверим, насколько близко мы подошли к корню:

f(1.2905) ≈ 0.1 * ln(2*1.2905) - 2 + 1.2905 ≈ 0.0001

Поскольку |f(1.2905)| < 0.01, мы достигли необходимой точности.

Корень уравнения f(x) = 0.1 * ln(2x) - 2 + x ≈ 1.2905 с погрешностью, не превышающей 0.01.